ÉTUDE ASTROPHYSIQUE

Résolution de l’Équation de Friedmann

L'équation de Friedmann : résoudre pour un univers plat, ouvert et fermé

L'équation de Friedmann : Dynamique de l'Univers

Comprendre l'Équation de Friedmann

L'équation de Friedmann est la pierre angulaire de la cosmologie moderne. Dérivée des équations de la relativité générale d'Einstein appliquées à un Univers homogène et isotrope, elle décrit l'évolution du "facteur d'échelle" de l'Univers, noté \(a(t)\), qui représente la taille relative de l'Univers au cours du temps. L'équation met en balance l'énergie cinétique de l'expansion (le terme de gauche, lié à \(H = \dot{a}/a\)) avec l'énergie potentielle gravitationnelle de tout ce que l'Univers contient (le terme de densité \(\rho\)) et un terme de courbure géométrique (\(k\)). Résoudre cette équation différentielle nous permet de modéliser le passé et de prédire le futur de notre Univers en fonction de son contenu et de sa géométrie.

Données de l'étude

Nous allons analyser l'équation de Friedmann pour un univers simplifié ne contenant que de la matière non relativiste (poussière).

Équations et Constantes :

  • Équation de Friedmann : \( \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} \)
  • Évolution de la densité de matière : \(\rho_m = \frac{\rho_{m,0}}{a^3}\)
  • Constante de Hubble aujourd'hui : \(H_0 \approx 70 \, \text{km/s/Mpc}\)
  • Le paramètre de courbure \(k\) peut prendre les valeurs \(-1\) (ouvert), \(0\) (plat) ou \(+1\) (fermé).
Schéma : Évolution du facteur d'échelle a(t)
Temps (t) Facteur d'échelle (a) Ouvert (k=-1) Plat (k=0) Fermé (k=+1)

L'évolution de la taille de l'Univers (\(a(t)\)) dépend de sa courbure \(k\).

Questions à traiter

  1. Considérons un univers plat (\(k=0\)) et dominé par la matière. Montrer que l'équation de Friedmann se simplifie en \( \dot{a} \propto a^{-1/2} \).
  2. En intégrant l'équation différentielle de la question 1, montrer que le facteur d'échelle évolue comme \( a(t) \propto t^{2/3} \).
  3. Discuter qualitativement de l'évolution pour un univers fermé (\(k=+1\)). Que se passe-t-il lorsque le terme de courbure domine le terme de densité ?
  4. Pour le cas de l'univers plat dominé par la matière, calculer l'âge de l'Univers en fonction de la constante de Hubble \(H_0\).

Correction : Résolution de l'Équation de Friedmann

Question 1 : Simplification pour un Univers Plat et Matériel

Principe :

Nous partons de l'équation de Friedmann générale et nous y injectons les hypothèses du modèle étudié : \(k=0\) (plat) et \(\rho = \rho_{m,0}/a^3\) (matière seule).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 &= \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} \\ \text{Avec } k=0 \text{ et } \rho = \frac{\rho_{m,0}}{a^3} &\Rightarrow \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3 a^3} \\ \dot{a}^2 &= a^2 \cdot \frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3 a^3} = \frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3} a^{-1} \\ \dot{a} &= \sqrt{\frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3}} \cdot a^{-1/2} \end{aligned} \]

Puisque le terme \(\sqrt{\frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3}}\) est une constante, nous avons bien montré que \(\dot{a} \propto a^{-1/2}\).

Question 2 : Solution pour l'Univers Plat

Principe :

Nous devons résoudre l'équation différentielle \(\frac{da}{dt} = C \cdot a^{-1/2}\), où C est une constante. C'est une équation à variables séparables.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{da}{dt} &= C a^{-1/2} \\ a^{1/2} da &= C dt \\ \int a^{1/2} da &= \int C dt \\ \frac{a^{3/2}}{3/2} &= C t + \text{constante d'intégration} \\ \frac{2}{3} a^{3/2} &= C t \quad (\text{en posant } a=0 \text{ à } t=0) \\ a^{3/2} &\propto t \\ a(t) &\propto t^{2/3} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Pour un univers plat dominé par la matière, le facteur d'échelle croît avec le temps comme \(t^{2/3}\).

Question 3 : Cas d'un Univers Fermé (\(k=+1\))

Principe :

Dans le cas fermé, l'équation complète est \( \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G \rho_{m,0}}{3 a^3} - \frac{c^2}{a^2} \). Nous devons analyser la compétition entre le terme de densité (qui diminue comme \(1/a^3\)) et le terme de courbure (qui diminue moins vite, comme \(1/a^2\)).

Analyse qualitative :
  • Au début (\(a\) petit) : Le terme de densité en \(1/a^3\) domine. L'Univers se comporte comme un univers plat et son expansion ralentit.
  • Avec le temps (\(a\) grandit) : Le terme de courbure en \(1/a^2\) diminue moins vite que le terme de densité. Il finit par devenir égal, puis supérieur au terme de densité.
  • Le tournant : Lorsque les deux termes s'équilibrent, \(\dot{a}\) devient nul. L'expansion s'arrête.
  • La fin : Le terme de courbure (négatif) l'emporte. \(\dot{a}^2\) devrait devenir négatif, ce qui est impossible. Cela signifie que \(\dot{a}\) devient négatif : l'Univers se recontracte, menant à un "Big Crunch".

Question 4 : Âge de l'Univers Plat

Principe :

Nous avons la relation \(a(t) = C' t^{2/3}\). En dérivant par rapport au temps, on trouve \(\dot{a}(t)\), ce qui nous permet d'exprimer la constante de Hubble \(H(t) = \dot{a}/a\) en fonction du temps. En évaluant à \(t_0\) (aujourd'hui), on peut relier l'âge de l'Univers \(t_0\) à la valeur actuelle \(H_0\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} a(t) &= C' t^{2/3} \\ \dot{a}(t) &= C' \cdot \frac{2}{3} t^{-1/3} \\ H(t) &= \frac{\dot{a}(t)}{a(t)} = \frac{C' \cdot \frac{2}{3} t^{-1/3}}{C' t^{2/3}} \\ &= \frac{2}{3} t^{-1} = \frac{2}{3t} \end{aligned} \]

Aujourd'hui, à \(t=t_0\), nous avons \(H_0 = H(t_0)\). On peut donc inverser la relation :

\[ H_0 = \frac{2}{3t_0} \Rightarrow t_0 = \frac{2}{3H_0} \]
Résultat Question 4 : Dans un univers plat dominé par la matière, l'âge de l'Univers est exactement \(t_0 = \frac{2}{3H_0}\), soit plus jeune que le temps de Hubble (\(1/H_0\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans l'équation de Friedmann, le terme de densité \(\rho\) agit comme...

2. Un univers fermé (\(k=+1\)) est un univers qui...

3. Dans un univers plat dominé par la matière, comment la vitesse d'expansion (\(\dot{a}\)) évolue-t-elle avec le temps ?

Glossaire

Équation de Friedmann
Équation fondamentale de la cosmologie issue de la relativité générale. Elle décrit la dynamique de l'expansion d'un univers homogène et isotrope en reliant le taux d'expansion, la densité de matière-énergie et la courbure de l'espace.
Facteur d'Échelle (\(a(t)\))
Fonction du temps qui représente la taille relative de l'Univers. \(a(t_0)=1\) aujourd'hui. Un \(a(t)=0.5\) signifie que l'Univers était deux fois plus petit qu'aujourd'hui.
Courbure (\(k\))
Paramètre qui décrit la géométrie globale de l'espace. \(k=+1\) correspond à une géométrie sphérique (fermée), \(k=0\) à une géométrie euclidienne (plate), et \(k=-1\) à une géométrie hyperbolique (ouverte).
Équation de Friedmann - Exercice d'Application en Cosmologie

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