ÉTUDE ASTROPHYSIQUE

La pression de dégénérescence des électrons

Exercice : Pression de Dégénérescence dans une Naine Blanche

La pression de dégénérescence des électrons

Contexte : La stabilité des naines blanchesLe résidu compact d'une étoile de faible à moyenne masse (comme le Soleil) après qu'elle a épuisé son combustible nucléaire. Une naine blanche est extrêmement dense..

Lorsqu'une étoile comme notre Soleil arrive en fin de vie, elle s'effondre sur elle-même sous l'effet de sa propre gravité. Alors que la pression thermique due à la fusion nucléaire a cessé, un autre type de pression, purement quantique, prend le relais pour empêcher l'effondrement total. Il s'agit de la pression de dégénérescence des électronsUne pression quantique qui résulte du principe d'exclusion de Pauli, interdisant à deux électrons d'occuper le même état quantique. Elle soutient les naines blanches contre l'effondrement gravitationnel.. Cet exercice vous guidera à travers les calculs fondamentaux pour comprendre comment ce phénomène extraordinaire assure la stabilité de ces cadavres stellaires.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un concept clé où la mécanique quantique (le principe d'exclusion de Pauli) a des conséquences directes à une échelle astrophysique, expliquant l'existence et la stabilité d'objets célestes massifs.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'origine de la pression de dégénérescence à partir du principe d'exclusion de Pauli.
  • Calculer la densité électronique dans une étoile compacte.
  • Déterminer l'énergie de Fermi et la pression de dégénérescence pour un gaz d'électrons.
  • Appliquer ces concepts pour vérifier la stabilité d'une naine blanche.

Données de l'étude

Nous allons étudier le cas de la naine blanche Sirius B, le compagnon de l'étoile la plus brillante de notre ciel nocturne. C'est l'une des naines blanches les plus connues et les mieux étudiées.

Fiche Technique : Sirius B
Caractéristique Valeur
Masse (M) \(1,02 M_☉\) (masses solaires)
Rayon (R) \(5900 \text{ km}\) (environ \(0,0085 R_☉\))
Composition principale Carbone (\(^{12}C\)) et Oxygène (\(^{16}O\)) ionisés
Modèle simplifié d'une Naine Blanche
Cœur Dégénéré (Noyaux de C/O + Gaz d'électrons)
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse du Soleil \(M_☉\) \(1,989 \times 10^{30}\) \(\text{kg}\)
Constante de Planck réduite \(\hbar\) \(1,054 \times 10^{-34}\) \(\text{J} \cdot \text{s}\)
Masse de l'électron \(m_e\) \(9,109 \times 10^{-31}\) \(\text{kg}\)
Unité de masse atomique \(\text{u}\) \(1,66 \times 10^{-27}\) \(\text{kg}\)

Questions à traiter

Pour simplifier, nous considérerons que l'étoile est composée uniquement de carbone \(^{12}C\) (Numéro atomique Z=6, Masse atomique A=12).

  1. Calculer la densité numérique d'électrons (\(n_e\)) dans Sirius B.
  2. En déduire l'impulsion de Fermi (\(p_F\)) des électrons.
  3. Calculer l'énergie de Fermi (\(E_F\)) correspondante en joules (J) puis en électron-volts (eV).
  4. Calculer la pression de dégénérescence (\(P_{\text{deg}}\)) en utilisant le modèle non-relativiste.
  5. Comparer cette pression à l'ordre de grandeur de la pression gravitationnelle et conclure sur la stabilité de l'étoile.

Les bases sur la matière dégénérée

À des densités extrêmes, comme dans le cœur d'une naine blanche, la matière obéit à des lois quantiques qui n'ont pas d'équivalent en physique classique.

1. Principe d'Exclusion de Pauli
Ce principe fondamental de la mécanique quantique stipule que deux fermions (comme les électrons) ne peuvent pas occuper simultanément le même état quantique (défini par leur position, leur impulsion et leur spin). Dans un volume très petit, les électrons sont forcés d'occuper des niveaux d'énergie de plus en plus élevés, car les niveaux inférieurs sont déjà tous remplis.

2. Gaz d'électrons dégénéré
Quand la densité est si élevée que tous les niveaux d'énergie les plus bas sont occupés jusqu'à une énergie maximale appelée Énergie de Fermi (\(E_F\)), on dit que le gaz d'électrons est "dégénéré". Même à une température de zéro absolu, les électrons auraient une énergie cinétique significative. C'est cette énergie cinétique qui est à l'origine de la pression de dégénérescence. \[ E_F = \frac{p_F^2}{2m_e} \]

Correction : La pression de dégénérescence des électrons

Question 1 : Calculer la densité numérique d'électrons (\(n_e\))

Principe

La densité numérique d'électrons représente le nombre d'électrons par unité de volume. Pour la trouver, nous devons d'abord déterminer le volume de l'étoile, puis le nombre total d'électrons qu'elle contient en se basant sur sa masse et sa composition.

Mini-Cours

La densité massique (\(\rho = M/V\)) est une mesure de la concentration de masse, tandis que la densité numérique (\(n = N/V\)) est une mesure de la concentration de particules. En astrophysique des objets compacts, la densité numérique est souvent plus fondamentale car elle est directement liée aux effets quantiques.

Remarque Pédagogique

La clé ici est de bien décomposer le problème : 1. Calculer le volume. 2. Calculer le nombre total de noyaux à partir de la masse totale. 3. Déduire le nombre total d'électrons. 4. Diviser le nombre d'électrons par le volume. Cette approche étape par étape évite les erreurs.

Normes

Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici. Nous nous basons sur les lois fondamentales de la physique : la géométrie euclidienne pour le volume d'une sphère et les principes de base de la constitution de la matière (atomes, noyaux, électrons).

Formule(s)

Volume d'une sphère

\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]

Définition de la densité numérique

\[ n_e = \frac{N_{\text{total d'électrons}}}{V} \]

Relation pour le nombre total d'électrons

\(N_{\text{électrons}} = N_{\text{noyaux}} \times Z\), avec \(N_{\text{noyaux}} = M_{\text{étoile}} / m_{\text{noyau}}\).

Hypothèses

On pose les hypothèses simplificatrices suivantes :

  • L'étoile a une densité uniforme.
  • Elle est composée à 100% de carbone \(^{12}C\).
  • Le carbone est totalement ionisé, c'est-à-dire que chaque atome de carbone a libéré ses 6 électrons.
Donnée(s)

Nous extrayons les chiffres nécessaires de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse de Sirius BM\(2.029 \times 10^{30}\)\(\text{kg}\)
Rayon de Sirius BR\(5.9 \times 10^6\)\(\text{m}\)
Masse d'un noyau de Carbone\(m_{\text{carbone}}\)\(1.992 \times 10^{-26}\)\(\text{kg}\)
Numéro atomique du CarboneZ6(sans unité)
Astuces

Pour aller plus vite, on peut combiner les formules. La densité numérique d'électrons \(n_e\) peut s'exprimer en fonction de la densité massique \(\rho\) par la relation \(n_e = \rho \times (Z/A) \times (1/m_p)\), où \(m_p\) est la masse du proton (proche de l'unité de masse atomique u). Pour beaucoup d'éléments, \(Z/A \approx 1/2\).

Schéma (Avant les calculs)
Démarche de calcul de la densité
Masse MRayon RNoyaux TotauxVolume VÉlectrons TotauxNe
Calcul(s)

Conversion de la masse

\[ \begin{aligned} M &= 1.02 \times M_☉ \\ &= 1.02 \times (1.989 \times 10^{30} \text{ kg}) \\ &= 2.029 \times 10^{30} \text{ kg} \end{aligned} \]

Conversion du rayon

\[ \begin{aligned} R &= 5900 \text{ km} \\ &= 5.9 \times 10^6 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la masse du noyau de carbone

\[ \begin{aligned} m_{\text{carbone}} &\approx 12 \text{ u} \\ &= 12 \times (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \\ &= 1.992 \times 10^{-26} \text{ kg} \end{aligned} \]

Calcul du volume de l'étoile

\[ \begin{aligned} V &= \frac{4}{3}\pi (5.9 \times 10^6 \text{ m})^3 \\ &= 8.60 \times 10^{20} \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Calcul du nombre total de noyaux

\[ \begin{aligned} N_{\text{noyaux}} &= \frac{M}{m_{\text{carbone}}} \\ &= \frac{2.029 \times 10^{30} \text{ kg}}{1.992 \times 10^{-26} \text{ kg}} \\ &= 1.018 \times 10^{56} \text{ noyaux} \end{aligned} \]

Calcul du nombre total d'électrons

\[ \begin{aligned} N_e &= N_{\text{noyaux}} \times Z \\ &= (1.018 \times 10^{56}) \times 6 \\ &= 6.108 \times 10^{56} \text{ électrons} \end{aligned} \]

Calcul de la densité électronique

\[ \begin{aligned} n_e &= \frac{N_e}{V} \\ &= \frac{6.108 \times 10^{56}}{8.60 \times 10^{20} \text{ m}^3} \\ &= 7.10 \times 10^{35} \text{ m}^{-3} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la densité électronique
Volume de 1 m³ (très réduit)Contient ~ \(10^{36}\) électrons
Réflexions

La densité d'électrons est absolument colossale, des milliards de milliards de fois plus élevée que dans un métal ordinaire sur Terre. C'est cette proximité extrême qui rend les effets quantiques inévitables et dominants.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre la masse de l'atome avec la masse du noyau. Puisque la matière est ionisée, la masse des électrons est négligeable dans la masse totale de l'étoile, qui est donc concentrée dans les noyaux.

Points à retenir
  • La densité numérique d'électrons (\(n_e\)) est la quantité fondamentale pour décrire un gaz dégénéré.
  • On la déduit de la masse totale (\(M\)), du rayon (\(R\)), et de la composition chimique (Z et A) de l'étoile.
Le saviez-vous ?

Une cuillère à café de matière de naine blanche pèserait plusieurs tonnes sur Terre ! Cela illustre l'incroyable densité de ces objets.

FAQ

Les questions les plus fréquentes sur cette étape.

Pourquoi suppose-t-on que le carbone est totalement ionisé ?

À des températures de plusieurs millions de kelvins et des pressions extrêmes, l'énergie est si grande que les atomes ne peuvent pas retenir leurs électrons. Le matériau existe sous forme de plasma : une "soupe" de noyaux et d'électrons libres.

Résultat Final
La densité numérique d'électrons dans Sirius B est d'environ \(n_e = 7,10 \times 10^{35} \text{ m}^{-3}\).
A vous de jouer

Que deviendrait la densité d'électrons si Sirius B avait le même rayon mais une masse de 1.2 \(M_☉\) ? (Exprimez le résultat en notation scientifique, ex: 1.23e36)

Question 2 : En déduire l'impulsion de Fermi (\(p_F\))

Principe

L'impulsion de Fermi est l'impulsion maximale qu'un électron peut avoir dans un gaz dégénéré à température nulle. Elle est directement liée à la densité d'électrons : plus les électrons sont serrés, plus ils doivent "s'empiler" dans des niveaux d'impulsion élevés.

Mini-Cours

En mécanique quantique, on peut imaginer un "espace des impulsions". Chaque état quantique occupe un petit volume dans cet espace. Le principe de Pauli force les électrons à remplir tous les états disponibles du plus bas (impulsion nulle) jusqu'à une impulsion maximale \(p_F\). Tous les états à l'intérieur d'une sphère de rayon \(p_F\) (la sphère de Fermi) sont occupés.

Remarque Pédagogique

Notez la dépendance en \(n_e^{1/3}\). Cela signifie que même si la densité varie d'un facteur 1000, l'impulsion de Fermi ne variera que d'un facteur 10. L'impulsion est donc relativement "rigide" face aux changements de densité.

Normes

Ce calcul est une application directe des principes de la physique statistique quantique pour un gaz de fermions.

Formule(s)

Relation Impulsion de Fermi - Densité

\[ p_F = \hbar (3\pi^2 n_e)^{1/3} \]
Hypothèses

Ce modèle suppose que le gaz d'électrons est à une température proche de zéro absolu. Comme nous le verrons, cette approximation est excellente pour une naine blanche car l'énergie de Fermi est bien supérieure à l'énergie thermique.

Donnée(s)

On utilise la valeur de \(n_e\) de la question 1 et la constante de Planck réduite.

ParamètreSymboleValeurUnité
Densité électronique\(n_e\)\(7.10 \times 10^{35}\)\(\text{m}^{-3}\)
Constante de Planck réduite\(\hbar\)\(1.054 \times 10^{-34}\)\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Astuces

Pour calculer la racine cubique d'un nombre en notation scientifique (\(A \times 10^B\)), vous pouvez utiliser la propriété \((A \times 10^B)^{1/3} = A^{1/3} \times 10^{B/3}\). Assurez-vous que B est un multiple de 3 pour simplifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Sphère de Fermi
pFÉtats occupés
Calcul(s)

Calcul de l'impulsion de Fermi

\[ \begin{aligned} p_F &= \hbar (3\pi^2 n_e)^{1/3} \\ &= (1.054 \times 10^{-34}) \times (3 \pi^2 \times 7.10 \times 10^{35})^{1/3} \\ &= (1.054 \times 10^{-34}) \times (2.10 \times 10^{37})^{1/3} \\ &= (1.054 \times 10^{-34}) \times (2.76 \times 10^{12}) \\ &= 2.91 \times 10^{-22} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position sur l'axe des impulsions
p0pF
Réflexions

Cette valeur d'impulsion est très élevée pour un électron. Comme nous l'avons vu dans la section "Points de Vigilance" de la question 3, elle est proche de la limite relativiste \(m_e c\), indiquant que les électrons les plus énergétiques se déplacent à une fraction significative de la vitesse de la lumière.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le facteur \((3\pi^2)^{1/3}\) dans la formule. C'est une erreur courante. Assurez-vous également que votre calculatrice gère correctement les racines cubiques et les puissances.

Points à retenir

L'impulsion de Fermi \(p_F\) est une mesure directe de la densité d'un gaz de fermions. C'est le pont entre le monde macroscopique (densité) et le monde quantique (impulsion maximale).

Le saviez-vous ?

Enrico Fermi, qui a donné son nom à ces concepts, était l'un des rares physiciens à exceller à la fois en théorie et en expérimentation. Il a dirigé la construction du premier réacteur nucléaire au monde.

FAQ

Questions fréquentes sur l'impulsion de Fermi.

Cette impulsion dépend-elle de la température ?

Non, dans un gaz fortement dégénéré, l'impulsion de Fermi ne dépend pratiquement que de la densité. L'agitation thermique n'ajoute que de très petites corrections, car \(k_B T \ll E_F\).

Résultat Final
L'impulsion de Fermi des électrons dans Sirius B est \(p_F = 2,91 \times 10^{-22} \text{ kg} \cdot \text{m/s}\).
A vous de jouer

En utilisant la densité calculée à la question 1, quelle serait l'impulsion de Fermi si les particules étaient des neutrons (masse \(m_n \approx 1836 m_e\)) au lieu d'électrons ? (La formule reste la même).

Question 3 : Calculer l'énergie de Fermi (\(E_F\))

Principe

L'énergie de Fermi est l'énergie cinétique associée à l'impulsion de Fermi. C'est le niveau d'énergie le plus élevé occupé par un électron dans le gaz dégénéré à T=0 K. Il est crucial de vérifier si le régime est relativiste ou non, car la relation énergie-impulsion change.

Mini-Cours

L'énergie cinétique est l'énergie du mouvement. En physique classique, elle est \(E = p^2/(2m)\). En relativité restreinte, la relation est plus complexe : \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\). Pour un électron au repos (\(p=0\)), on retrouve la fameuse formule \(E=mc^2\). Pour les calculs, on utilise généralement l'énergie cinétique \(E_c = E - mc^2\).

Remarque Pédagogique

Comparer l'énergie de Fermi à l'énergie thermique (\(k_B T\)) est un test décisif. Si \(E_F \gg k_B T\), le gaz est dégénéré et la physique quantique domine. Si \(k_B T \gg E_F\), le gaz est classique (ou "thermique") et les lois de Maxwell-Boltzmann s'appliquent. Les naines blanches sont fermement dans le premier cas.

Normes

Ce calcul est une application de la mécanique classique (\(E=p^2/2m\)), mais la section "Points de Vigilance" introduit un concept de la relativité restreinte.

Formule(s)

Énergie cinétique non-relativiste

\[ E_F = \frac{p_F^2}{2m_e} \]
Hypothèses

Nous utilisons la formule non-relativiste pour ce calcul, même si, comme nous le verrons, nous sommes à la limite de sa validité. C'est une simplification courante dans les exercices d'introduction.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Impulsion de Fermi\(p_F\)\(2.91 \times 10^{-22}\)\(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)
Masse de l'électron\(m_e\)\(9.109 \times 10^{-31}\)\(\text{kg}\)
Astuces

La conversion Joules \(\leftrightarrow\) électron-Volts (eV) est omniprésente en physique des particules et en astrophysique. Mémorisez la conversion : \(1 \text{ eV} \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\). Un Méga-électron-volt (MeV) vaut un million d'eV.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Énergie-Impulsion
p (Impulsion)E (Énergie)
Calcul(s)

Calcul de l'énergie en Joules

\[ \begin{aligned} E_F &= \frac{(2.91 \times 10^{-22})^2}{2 \times (9.109 \times 10^{-31})} \\ &= \frac{8.47 \times 10^{-44}}{1.82 \times 10^{-30}} \\ &= 4.65 \times 10^{-14} \text{ J} \end{aligned} \]

Conversion de l'énergie en électron-volts (eV)

\[ \begin{aligned} E_F &= \frac{4.65 \times 10^{-14} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} \\ &= 290262 \text{ eV} \\ &\approx 0.29 \text{ MeV} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Échelles d'énergie
kBT ~ 1 keVEF ~ 290 keV
Réflexions

Une énergie de 0.29 MeV est considérable. La température au cœur d'une naine blanche est d'environ \(10^7\) K, ce qui correspond à une énergie thermique \(k_B T \approx 1\) keV. Puisque \(E_F \gg k_B T\), le gaz est bien dans un état de dégénérescence quantique : son énergie est dominée par les effets quantiques et non par l'agitation thermique.

Points de vigilance

Vérification du régime (non-)relativiste : On compare \(p_F\) à \(m_e c\).

Calcul de l'impulsion relativiste

\[ \begin{aligned} m_e c &= (9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \\ &= 2.73 \times 10^{-22} \text{ kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]

Comme \(p_F \approx m_e c\), les électrons sont dans un régime modérément relativiste. L'utilisation de la formule non-relativiste est une approximation, mais nous la conserverons pour cet exercice.

Points à retenir

Le critère pour un gaz dégénéré est \(E_F \gg k_B T\). C'est cette condition qui justifie l'utilisation de la physique statistique à température nulle pour décrire l'état de la matière dans une naine blanche.

Le saviez-vous ?

L'énergie libérée par une seule supernova peut être plus brillante que la lumière combinée de toutes les étoiles de sa galaxie. L'énergie de Fermi est minuscule en comparaison, mais c'est elle qui empêche des milliards d'étoiles de subir ce sort.

FAQ

Questions fréquentes sur l'énergie de Fermi.

Que se passerait-il si on utilisait la formule relativiste ?

La formule relativiste pour l'énergie cinétique est \(E_c = \sqrt{(p_F c)^2 + (m_e c^2)^2} - m_e c^2\). Pour Sirius B, le résultat serait légèrement différent mais du même ordre de grandeur. L'écart devient très important pour des naines blanches plus massives et plus denses.

Résultat Final
L'énergie de Fermi est \(E_F = 4,65 \times 10^{-14} \text{ J}\), soit environ \(0,29 \text{ MeV}\).
A vous de jouer

Quelle serait l'énergie de Fermi (en MeV) si l'impulsion \(p_F\) était deux fois plus grande ? (Utilisez la formule non-relativiste).

Question 4 : Calculer la pression de dégénérescence (\(P_{\text{deg}}\))

Principe

Cette pression est la conséquence macroscopique du principe d'exclusion de Pauli. Les électrons, forcés d'avoir une impulsion élevée, exercent une pression sur leur environnement, tout comme les molécules d'un gaz ordinaire. Cette pression ne dépend pas de la température (tant qu'elle est faible devant l'énergie de Fermi), mais uniquement de la densité.

Mini-Cours

En thermodynamique, la pression d'un gaz peut être reliée à son énergie. Pour un gaz non-relativiste, la relation est \(P = \frac{2}{3} u\), où \(u\) est la densité d'énergie (énergie par unité de volume). La densité d'énergie du gaz d'électrons est \(u = n_e \times \bar{E}\), où \(\bar{E}\) est l'énergie cinétique moyenne. Pour un gaz de Fermi, il se trouve que \(\bar{E} = \frac{3}{5}E_F\). En combinant ces relations, on retrouve la formule de la pression.

Remarque Pédagogique

Observez la dépendance en \(n_e^{5/3}\). C'est une loi de puissance très "dure". Si vous compressez un peu le gaz (augmentez \(n_e\)), la pression augmente très fortement pour résister à la compression. C'est ce qui rend les naines blanches si stables.

Normes

Le calcul est basé sur les résultats standards de la physique statistique pour un gaz de Fermi non-relativiste.

Formule(s)

Pression de dégénérescence non-relativiste

\[ P_{\text{deg}} = \frac{(3\pi^2)^{2/3}\hbar^2}{5m_e} n_e^{5/3} \]
Hypothèses

Nous continuons de supposer que le gaz est non-relativiste, ce qui est une approximation pour Sirius B, mais reste raisonnable pour une première approche.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Densité électronique\(n_e\)\(7.10 \times 10^{35}\)\(\text{m}^{-3}\)
Constante de Planck réduite\(\hbar\)\(1.054 \times 10^{-34}\)\(\text{J} \cdot \text{s}\)
Masse de l'électron\(m_e\)\(9.109 \times 10^{-31}\)\(\text{kg}\)
Astuces

Pour élever un nombre comme \(10^{35}\) à la puissance \(5/3\), faites \((10^{35})^{5/3} = 10^{35 \times 5/3} = 10^{175/3} \approx 10^{58.33}\). Séparez le calcul de la puissance de 10 de celui de la mantisse pour éviter les erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Origine de la Pression
Surfacee⁻e⁻
Calcul(s)

Calcul de la pression de dégénérescence

\[ \begin{aligned} P_{\text{deg}} &= \frac{(3\pi^2)^{2/3}\hbar^2}{5m_e} n_e^{5/3} \\ &= \frac{(3\pi^2)^{2/3}(1.054 \times 10^{-34})^2}{5 \times 9.109 \times 10^{-31}} (7.10 \times 10^{35})^{5/3} \\ &= \frac{(9.65)(1.11 \times 10^{-68})}{4.55 \times 10^{-30}} (3.03 \times 10^{59}) \\ &= (2.35 \times 10^{-39}) \times (3.03 \times 10^{59}) \\ &= 7.12 \times 10^{20} \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Dépendance Pression-Densité
nePdegP ~ ne^(5/3)
Réflexions

Une pression de \(10^{21}\) Pascals est une valeur astronomique, des milliards de fois supérieure à la pression au centre de la Terre. Cela montre l'extraordinaire puissance des effets quantiques à grande échelle.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est le calcul de la puissance \(5/3\). Faites-le soigneusement. Vérifiez également que toutes les constantes (\(\hbar\), \(m_e\)) sont bien en unités du Système International (J·s, kg).

Points à retenir

La pression de dégénérescence non-relativiste est proportionnelle à la densité électronique à la puissance 5/3 (\(P_{\text{deg}} \propto n_e^{5/3}\)). C'est cette forte dépendance qui assure la stabilité de la naine blanche.

Le saviez-vous ?

C'est Subrahmanyan Chandrasekhar qui, lors d'un voyage en bateau de l'Inde vers l'Angleterre en 1930, a calculé pour la première fois que le cas relativiste menait à une masse maximale pour les naines blanches. Il n'avait que 19 ans.

FAQ

Questions fréquentes sur la pression de dégénérescence.

Pourquoi la formule est-elle différente dans le cas ultra-relativiste ?

Dans le cas ultra-relativiste, l'énergie d'un électron est \(E \approx pc\) (la masse devient négligeable). Cela change la relation entre l'énergie et la densité, et donc entre la pression et la densité, qui devient \(P_{\text{deg}} \propto n_e^{4/3}\). Cette dépendance plus "molle" est la raison pour laquelle il existe une masse limite.

Résultat Final
La pression de dégénérescence des électrons est d'environ \(P_{\text{deg}} = 7,12 \times 10^{20} \text{ Pa}\).
A vous de jouer

Si la densité \(n_e\) était 8 fois plus grande, par quel facteur la pression \(P_{\text{deg}}\) serait-elle multipliée ? (Indice : \(8^{5/3} = (8^{1/3})^5 = 2^5\)).

Question 5 : Conclure sur la stabilité de l'étoile

Principe

Une étoile est en équilibre hydrostatique lorsque la pression interne qui tend à la faire exploser compense exactement la force de gravité qui tend à la faire s'effondrer. Pour notre naine blanche, la pression interne est la pression de dégénérescence. Nous allons la comparer à un ordre de grandeur de la pression gravitationnelle centrale.

Mini-Cours

L'équilibre hydrostatique est l'un des concepts les plus fondamentaux de la structure stellaire. Il est décrit par une équation différentielle qui relie le gradient de pression à la force de gravité locale. Pour une estimation simple, on peut intégrer cette équation de manière approximative pour obtenir un ordre de grandeur de la pression centrale.

Remarque Pédagogique

Le but n'est pas de trouver une égalité parfaite. Les modèles simplifiés que nous utilisons (densité uniforme, formule non-relativiste, approximation de la pression centrale) ont des limites. L'objectif est de vérifier que les deux forces en jeu sont du même ordre de grandeur, ce qui valide notre modèle physique.

Normes

Ce calcul est une application de la loi de la gravitation universelle de Newton.

Formule(s)

Ordre de grandeur de la pression gravitationnelle

\[ P_{\text{grav}} \approx \frac{G M^2}{R^4} \quad (\text{avec } G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}) \]
Hypothèses

Cette estimation de la pression gravitationnelle suppose que la densité de l'étoile est à peu près uniforme, ce qui n'est qu'une approximation grossière.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Constante GravitationnelleG\(6.674 \times 10^{-11}\)\(\text{SI}\)
Masse de Sirius BM\(2.029 \times 10^{30}\)\(\text{kg}\)
Rayon de Sirius BR\(5.9 \times 10^6\)\(\text{m}\)
Astuces

Cette formule \(GM^2/R^4\) est très utile pour obtenir rapidement un ordre de grandeur de la pression centrale dans n'importe quel objet auto-gravitant (planète, étoile...). C'est un bon réflexe à avoir.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre Hydrostatique
PressionGravité
Calcul(s)

Estimation de la pression gravitationnelle

\[ \begin{aligned} P_{\text{grav}} &\approx \frac{G M^2}{R^4} \\ &= \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (2.029 \times 10^{30})^2}{(5.9 \times 10^6)^4} \\ &= \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (4.117 \times 10^{60})}{1.21 \times 10^{27}} \\ &= \frac{2.74 \times 10^{50}}{1.21 \times 10^{27}} \\ &\approx 2.26 \times 10^{23} \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Pressions
P_deg~ 7e20 PaP_grav~ 2e23 Pa
Réflexions

On constate que notre estimation de la pression de dégénérescence (\(P_{\text{deg}} \approx 7.12 \times 10^{20} \text{ Pa}\)) et notre ordre de grandeur de la pression gravitationnelle (\(P_{\text{grav}} \approx 2.26 \times 10^{23} \text{ Pa}\)) sont dans des gammes de valeurs différentes mais pas absurdement éloignées (compte tenu de la simplicité du modèle \(GM^2/R^4\)). Des modèles plus précis montrent que les deux pressions s'équilibrent. Notre calcul, même simplifié, démontre que la pression de dégénérescence est bien le bon mécanisme, capable de générer les pressions titanesques nécessaires pour contrer la gravité d'une étoile entière comprimée dans un volume si petit.

Points de vigilance

Ne soyez pas surpris que les deux valeurs ne soient pas égales. La formule \(GM^2/R^4\) est une approximation très grossière. Un calcul détaillé de la structure stellaire donne un facteur numérique différent, menant à une bien meilleure correspondance. L'important est que les ordres de grandeur soient plausibles.

Points à retenir

La stabilité d'une naine blanche est le résultat de l'équilibre hydrostatique entre la force de gravité, qui tend à la comprimer, et la pression de dégénérescence des électrons, qui résiste à cette compression.

Le saviez-vous ?

Si la masse de la naine blanche dépasse environ 1,44 masse solaire (la "limite de Chandrasekhar"), la pression de dégénérescence des électrons n'est plus suffisante pour contrer la gravité. L'étoile s'effondre alors violemment, menant à une supernova de type Ia.

FAQ

Questions fréquentes sur la stabilité stellaire.

Pourquoi notre estimation de P_grav est-elle beaucoup plus grande que P_deg ?

La formule \(P \approx GM^2/R^4\) surestime la pression centrale car elle ne tient pas compte du fait que la densité est plus élevée au centre qu'en surface. Un modèle plus réaliste donnerait une valeur plus faible pour la pression gravitationnelle centrale, se rapprochant bien mieux de notre calcul de \(P_{\text{deg}}\).

Résultat Final
La pression de dégénérescence est du bon ordre de grandeur pour s'opposer à l'effondrement gravitationnel, assurant ainsi la stabilité de la naine blanche Sirius B.
A vous de jouer

Si le rayon de l'étoile était deux fois plus petit (2950 km), par quel facteur la pression gravitationnelle estimée augmenterait-elle ? (Indice : regardez la dépendance en R dans la formule).

Outil Interactif : Stabilité des Naines Blanches

Utilisez ce simulateur pour explorer comment la pression de dégénérescence change en fonction de la masse et du rayon d'une naine blanche. Observez à quel point cette pression est sensible à la compression de l'étoile.

Paramètres d'Entrée
1.0 M☉
5900 km
Résultats Clés
Densité électronique (e⁻/m³) -
Pression Dégén. (Pa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la cause fondamentale de la pression de dégénérescence ?

2. Si l'on comprime une naine blanche (son rayon diminue), comment évolue la pression de dégénérescence ?

3. Qu'est-ce que l'énergie de Fermi ?

4. Un gaz d'électrons est dit "dégénéré" lorsque...

5. Que se passe-t-il si une naine blanche dépasse la masse limite de Chandrasekhar ?

Glossaire

Naine blanche
Le noyau stellaire résiduel d'une étoile de faible à moyenne masse, qui n'est plus soutenu par la fusion nucléaire mais par la pression de dégénérescence des électrons. C'est un objet extrêmement dense.
Pression de dégénérescence
Une pression d'origine quantique qui apparaît dans la matière très dense. Elle résulte du principe d'exclusion de Pauli, qui empêche les fermions (comme les électrons) de s'accumuler dans les mêmes états de basse énergie.
Principe d'exclusion de Pauli
Un principe de la mécanique quantique qui stipule que deux fermions identiques ne peuvent occuper le même état quantique en même temps.
Énergie de Fermi (\(E_F\))
Dans un système de fermions à température nulle, l'énergie de Fermi est l'énergie du niveau quantique le plus élevé occupé. Elle représente l'énergie cinétique maximale des particules dans un gaz dégénéré.
Exercice d'Astrophysique Stellaire

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