La Fonction de Masse de Press-Schechter
Contexte : Compter les galaxies en pesant l'Univers.
En cosmologie, les galaxies ne sont pas distribuées au hasard. Elles naissent et vivent au cœur de vastes concentrations de matière invisible : les halos de matière noireDes concentrations quasi-sphériques de matière noire qui dominent gravitationnellement leur environnement. Ils sont les "échafaudages" cosmiques sur lesquels se forment les galaxies.. Prédire combien de halos d'une certaine masse existent à une époque donnée est fondamental pour comprendre la formation des structures cosmiques. Le formalisme de Press-Schechter (1974) a été la première théorie analytique à réussir cet exploit. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés pour calculer le nombre de halos de matière noire en utilisant ce modèle fondateur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment, en cosmologie, on peut relier les propriétés de l'Univers primordial (de minuscules fluctuations de densité) à la structure observable aujourd'hui (des amas de galaxies massifs). Nous allons utiliser des concepts statistiques pour prédire une quantité astrophysique mesurable : la densité numérique de halos.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de variance du champ de densité et son lien avec la masse d'un halo.
- Calculer le "pic de densité" (\(\nu\)) et interpréter sa signification.
- Appliquer la formule de Press-Schechter pour trouver la fraction de masse contenue dans les halos.
- Calculer la densité numérique comoving des halos plus massifs qu'une certaine masse.
- Se familiariser avec les ordres de grandeur en cosmologie (\(M_\odot\), Mpc, redshift).
Données de l'étude
Formation hiérarchique des structures
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du halo cible | \(M\) | \(10^{12}\) | \(M_\odot\) \(\text{(Masses solaires)}\) |
| Redshift (décalage vers le rouge) | \(z\) | 1 | \(\text{(adimensionnel)}\) |
| Normalisation du spectre de puissance | \(\sigma_8\) | 0.8 | \(\text{(adimensionnel)}\) |
| Densité de matière aujourd'hui | \(\Omega_{m,0}\) | 0.3 | \(\text{(adimensionnel)}\) |
| Densité critique aujourd'hui | \(\rho_{c,0}\) | \(2.775 \times 10^{11}\) | \(M_\odot / \text{Mpc}^3\) |
| Seuil critique d'effondrement | \(\delta_c\) | 1.686 | \(\text{(adimensionnel)}\) |
Questions à traiter
- Calculer la variance \(\sigma(M)\) du champ de densité pour la masse \(M\) donnée.
- Calculer le seuil d'effondrement \(\delta_c(z)\) au redshift \(z=1\) et en déduire le pic de densité \(\nu\).
- Calculer la fraction de masse \(F(>M)\) contenue dans les halos de masse supérieure à \(M\).
- Calculer la densité numérique comobile \(n(>M)\) de ces halos.
Les bases de la Formation des Structures
Avant la correction, revoyons quelques concepts clés du modèle de Press-Schechter.
1. La Variance \(\sigma(M)\) :
Imaginez l'Univers primordial comme une soupe presque uniforme, avec de minuscules fluctuations de densité. La variance \(\sigma(M)\) mesure l'amplitude typique de ces fluctuations quand on les lisse sur une région contenant une masse \(M\). Une \(\sigma(M)\) élevée signifie de grandes fluctuations. La variance diminue pour les grandes masses (il est plus facile d'avoir une petite région très dense qu'une immense région très dense). Une approximation utile est :
\[ \sigma(M) \approx \sigma_8 \left( \frac{M}{M_8} \right)^{-(n+3)/6} \]
où \(M_8\) est la masse dans une sphère de \(8 \, h^{-1}\text{Mpc}\) et \(n \approx 1\) est l'indice spectral.
2. Le Pic de Densité \(\nu\) :
Une région s'effondre pour former un halo si sa surdensité initiale dépasse un certain seuil critique, \(\delta_c \approx 1.686\). Le "pic de densité" \(\nu = \delta_c(z) / \sigma(M)\) compare ce seuil à la fluctuation typique. Un \(\nu\) élevé (ex: \(\nu=3\)) signifie qu'il faut une fluctuation 3 fois plus grande que la moyenne pour former un halo de masse \(M\). C'est un événement rare. Le seuil évolue avec le temps via le facteur de croissance \(D(z)\) : \(\delta_c(z) = \delta_c / D(z)\).
3. La Fonction de Masse :
L'idée de Press-Schechter est de supposer que les fluctuations de densité initiales suivent une distribution gaussienne. La fraction de la matière dans des régions qui dépassent le seuil \(\delta_c(z)\) (et donc qui se sont effondrées en halos de masse \(>M\)) est alors donnée par l'intégrale de cette gaussienne. Le résultat est étonnamment simple :
\[ F(>M) = \text{erfc}\left(\frac{\nu}{\sqrt{2}}\right) \]
où erfc est la fonction d'erreur complémentaire.
Correction : La Fonction de Masse de Press-Schechter
Question 1 : Calculer la variance \(\sigma(M)\)
Principe (le concept physique)
La variance \(\sigma(M)\) quantifie l'amplitude des fluctuations de densité primordiales sur une échelle de masse M. C'est le "grain" de l'Univers. Plus la masse M est grande, plus on moyenne sur un grand volume, et plus les fluctuations sont faibles. \(\sigma(M)\) est donc une fonction décroissante de M. Le paramètre \(\sigma_8\) ancre cette relation : c'est l'amplitude des fluctuations sur une échelle de \(8 \, h^{-1}\text{Mpc}\), qui correspond à la masse des amas de galaxies typiques.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La variance est formellement définie par l'intégrale du spectre de puissance de la matière \(P(k)\) pondéré par une fonction fenêtre \(W(kR)\) dans l'espace de Fourier. La masse \(M\) est reliée au rayon de lissage \(R\) par \(M = \frac{4}{3}\pi R^3 \bar{\rho}_m\). Le spectre de puissance \(P(k)\) lui-même est une prédiction fondamentale des modèles d'inflation et est mesuré avec une précision exquise par les expériences sur le fond diffus cosmologique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à la variance comme à une mesure du "relief" de l'Univers jeune. Sur de petites échelles (petites masses), le paysage est très accidenté avec beaucoup de "pics" et de "vallées" (grande variance). Sur de très grandes échelles (grandes masses), le paysage est beaucoup plus lisse car on moyenne toutes ces petites variations (faible variance).
Normes (la référence réglementaire)
En cosmologie, les "normes" sont les paramètres du modèle cosmologique standard, \(\Lambda\)CDM, déterminés par des observations. La valeur de \(\sigma_8=0.8\) est une valeur consensuelle issue des dernières analyses des données du satellite Planck, qui a cartographié le fond diffus cosmologique. C'est notre étalon pour la normalisation des structures.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour simplifier, nous utiliserons une loi de puissance approximative, qui est une bonne description sur une gamme de masses limitée :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le champ de densité primordial est un champ aléatoire gaussien. On utilise une approximation en loi de puissance pour la relation entre \(\sigma\) et \(M\), ce qui est valide pour des masses proches de \(10^{12} - 10^{15} M_\odot\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse du halo, \(M = 10^{12} \, M_\odot\)
- Normalisation, \(\sigma_8 = 0.8\)
- Masse de référence, \(M_8 \approx 3 \times 10^{14} \, M_\odot\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le calcul implique un rapport de masses élevé (\(10^{12} / 10^{14} = 10^{-2}\)). L'exposant -0.5 signifie qu'on prend l'inverse de la racine carrée. Donc \((1/300)^{-0.5} = \sqrt{300}\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur du calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Variance en fonction de la Masse
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule :
Schéma (Après les calculs)
Variance en fonction de la Masse (Résultat)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une variance de 13.86 est très élevée, bien supérieure à 1. Cela signifie que les fluctuations de densité sur l'échelle de masse de la Voie Lactée étaient, en moyenne, déjà non-linéaires. C'est pourquoi des objets de cette masse sont très courants. Pour des masses beaucoup plus grandes (amas de galaxies), \(\sigma(M)\) serait bien plus faible, indiquant que ces structures se forment à partir de fluctuations primordiales beaucoup plus rares.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper dans l'exposant. Un exposant de -0.5 est une approximation ; des calculs plus précis donnent un exposant qui varie légèrement avec la masse. Il faut aussi s'assurer d'utiliser des masses de référence (\(M_8\)) cohérentes avec la valeur de \(\sigma_8\) utilisée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\sigma(M)\) mesure l'amplitude des fluctuations de densité à l'échelle de masse M.
- C'est une fonction décroissante de la masse : les grandes structures sont plus rares.
- \(\sigma_8\) est le point de normalisation clé de la théorie.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les modèles cosmologiques prédisent que les fluctuations primordiales sont très proches d'être gaussiennes, mais de petites déviations (non-gaussianités primordiales) sont possibles. La détection de ces déviations serait une fenêtre extraordinaire sur la physique de l'inflation, la période d'expansion ultra-rapide juste après le Big Bang.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la variance \(\sigma(M)\) pour un amas de galaxies massif de \(M = 3 \times 10^{14} \, M_\odot\).
Question 2 : Calculer le pic de densité \(\nu\)
Principe (le concept physique)
Le pic de densité \(\nu\) est le rapport entre le "seuil à atteindre" et la "fluctuation typique". Le seuil, \(\delta_c\), est une constante dans le modèle d'effondrement sphérique, mais comme les fluctuations grandissent avec le temps, il est plus difficile d'atteindre ce seuil dans le passé. On modélise cela en augmentant le seuil effectif à grand redshift : \(\delta_c(z) = \delta_c / D(z)\), où \(D(z)\) est le facteur de croissance. \(\nu\) nous dit donc de combien d'écarts-types (\(\sigma\)) une fluctuation doit être au-dessus de la moyenne pour s'effondrer à un redshift \(z\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le modèle de l'effondrement sphérique montre qu'une surdensité sphérique initialement petite ne s'effondre que si sa densité, extrapolée linéairement à aujourd'hui, dépasse \(\delta_c \approx 1.686\). Le facteur de croissance \(D(z)\) décrit comment les perturbations de densité de la matière croissent sous l'effet de la gravité. Dans un univers dominé par la matière, \(D(z) \propto a = 1/(1+z)\), où \(a\) est le facteur d'échelle.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pensez à \(\nu\) comme à un "score de rareté". Si \(\nu=1\), le halo se forme à partir d'une fluctuation typique ("1-sigma"), c'est donc un objet commun. Si \(\nu=3\), il faut une fluctuation 3-sigma, un événement beaucoup plus rare. Les amas de galaxies les plus massifs correspondent à des pics \(\nu > 3\).
Normes (la référence réglementaire)
La valeur \(\delta_c = 1.686\) est un résultat théorique classique pour un univers de type Einstein-de Sitter (critique et sans constante cosmologique). Bien que notre Univers soit \(\Lambda\)CDM, cette valeur reste une excellente approximation et est utilisée comme standard dans la plupart des calculs analytiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le facteur de croissance peut être approximé par \(D(z) = 1/(1+z)\) dans un univers dominé par la matière (une bonne approximation pour \(z=1\)).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le modèle de l'effondrement sphérique est valide. On utilise une approximation pour le facteur de croissance, valide à des redshifts où l'Univers est dominé par la matière (ce qui est le cas à z=1).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Seuil critique, \(\delta_c = 1.686\)
- Redshift, \(z = 1\)
- Variance, \(\sigma(M) \approx 13.86\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
Retenez que le seuil effectif \(\delta_c(z)\) augmente quand on remonte dans le temps (z plus grand). C'est logique : dans le passé, les fluctuations étaient plus petites, il fallait donc une fluctuation initiale proportionnellement plus grande pour atteindre le seuil d'effondrement à une époque donnée.
Schéma (Avant les calculs)
Seuil vs. Fluctuations
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer le seuil effectif à z=1 :
2. Calculer le pic de densité \(\nu\) :
Schéma (Après les calculs)
Un Pic de Densité Faible
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un pic de densité \(\nu \approx 0.243\) est très faible. Cela signifie que le seuil à atteindre est bien plus bas que l'amplitude typique des fluctuations à cette échelle de masse. En d'autres termes, presque toutes les régions avec une masse de l'ordre de \(10^{12} \, M_\odot\) avaient une surdensité suffisante pour s'être déjà effondrées à z=1. Cela confirme que la formation de halos de la taille de la Voie Lactée est un processus très commun qui a commencé tôt dans l'histoire de l'Univers.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier le facteur de croissance ! Une erreur fréquente est d'utiliser \(\delta_c = 1.686\) pour des calculs à redshift non nul. Cela reviendrait à ignorer que l'Univers évolue et que les structures grandissent avec le temps.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\nu\) compare le seuil d'effondrement à la fluctuation typique.
- \(\nu = \delta_c(z) / \sigma(M)\).
- Un \(\nu\) faible (<1) correspond à des objets communs, un \(\nu\) élevé (>2) à des objets rares.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans un Univers avec une constante cosmologique \(\Lambda\), la croissance des structures ralentit à des époques récentes (z < 1) car l'accélération de l'expansion s'oppose à l'effondrement gravitationnel. Le facteur de croissance \(D(z)\) n'est alors plus simplement \(1/(1+z)\) et son calcul nécessite une intégrale numérique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez \(\nu\) pour le même halo de \(10^{12} \, M_\odot\), mais aujourd'hui (z=0).
Question 3 : Calculer la fraction de masse \(F(>M)\)
Principe (le concept physique)
Cette étape est le cœur du formalisme de Press-Schechter. En supposant que les surdensités initiales suivent une distribution normale (gaussienne) de variance \(\sigma(M)^2\), on peut calculer la probabilité qu'une région ait une surdensité supérieure au seuil \(\delta_c(z)\). Cette probabilité est directement interprétée comme la fraction de toute la matière de l'Univers qui s'est effondrée dans des halos de masse supérieure à M.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distribution de probabilité d'une variable gaussienne \(x\) de moyenne nulle et d'écart-type \(\sigma\) est \(P(x) = (1/\sqrt{2\pi}\sigma) \exp(-x^2/2\sigma^2)\). La fraction de la distribution avec \(x > \delta_c\) est l'intégrale de cette fonction de \(\delta_c\) à l'infini. Le résultat de cette intégrale est lié à la fonction d'erreur, erfc. Press & Schechter ont ajouté un facteur 2 "ad hoc" pour s'assurer que toute la masse finit par s'effondrer, ce qui mène à la formule finale.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est un outil statistique puissant. Sans avoir à simuler le mouvement de milliards de particules, on peut prédire une propriété globale de l'Univers simplement en comptant "combien de pics de notre paysage initial étaient assez hauts pour s'effondrer avant une certaine date".
Normes (la référence réglementaire)
La formule elle-même, publiée dans l'article de Press & Schechter de 1974, est devenue la "norme" de base pour tous les calculs analytiques de formation de structures pendant des décennies. Bien que des modèles plus précis existent maintenant, elle reste une référence incontournable et une excellente première approximation.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de Press-Schechter pour la fraction de masse cumulée est :
où \(\text{erfc}(x)\) est la fonction d'erreur complémentaire, \(\text{erfc}(x) = 1 - \text{erf}(x)\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que toutes les régions de l'espace avec une surdensité lissée supérieure au seuil \(\delta_c(z)\) à l'échelle M correspondent à de la matière qui fait partie d'un halo de masse supérieure à M.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Pic de densité, \(\nu \approx 0.243\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour \(\nu \ll 1\), l'argument de erfc est petit et la fonction est proche de 1. Pour \(\nu \gg 1\), la fonction chute exponentiellement vite. Si vous calculez F(>M) pour un amas de galaxies (\(\nu \approx 3\)), attendez-vous à un résultat très petit !
Schéma (Avant les calculs)
Fraction de Masse = Aire sous la Courbe
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer l'argument de la fonction erfc :
2. Évaluer la fonction (on peut utiliser une calculatrice ou une table) :
Schéma (Après les calculs)
Une Grande Fraction de la Masse s'est Effondrée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un résultat de 0.807 signifie qu'à z=1, environ 81% de toute la matière dans l'Univers était déjà contenue dans des halos de masse égale ou supérieure à celle de la Voie Lactée. C'est une fraction énorme, qui confirme notre intuition précédente : la formation de halos de cette taille est un processus très avancé à cette époque. La grande majorité de la matière n'est plus diffusée, mais a déjà été structurée gravitationnellement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien utiliser la fonction d'erreur COMPLÉMENTAIRE (erfc), et non la fonction d'erreur (erf). N'oubliez pas non plus le facteur \(\sqrt{2}\) dans l'argument, qui provient de la relation entre la variance et l'écart-type d'une distribution gaussienne.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(F(>M)\) est la fraction de la masse totale de l'Univers dans des halos de masse \(>M\).
- Elle est calculée en intégrant la queue d'une distribution gaussienne.
- La formule clé est \(F(>M) = \text{erfc}(\nu/\sqrt{2})\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La théorie des "excursion sets" (marches aléatoires) fournit une dérivation plus rigoureuse de la fonction de masse. Elle permet de retrouver la formule de Press-Schechter (y compris le facteur 2) de manière plus naturelle et de la généraliser à des modèles d'effondrement plus complexes, comme l'effondrement ellipsoïdal qui mène à la fonction de masse de Sheth-Tormen.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la fraction de masse \(F(>M)\) pour un pic 3-sigma (\(\nu=3\)) ? (Indice: erfc(3/\(\sqrt{2}\)) \(\approx\) 0.00023)
Question 4 : Calculer la densité numérique \(n(>M)\)
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous savons quelle fraction de la masse totale est dans nos halos, il ne reste plus qu'à convertir cela en un nombre d'objets par unité de volume. On prend la densité de matière moyenne de l'Univers, \(\bar{\rho}_m\), on la multiplie par notre fraction de masse \(F(>M)\) pour obtenir la densité de masse dans les halos. Ensuite, on divise par la masse typique de ces halos, \(M\), pour obtenir une estimation du nombre de halos par unité de volume.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La densité numérique que nous calculons est une densité "comobile". Cela signifie qu'elle est exprimée par unité de volume comobile, un volume qui s'étend avec l'expansion de l'Univers. L'avantage est que le nombre de halos dans un volume comobile est conservé (sauf fusions). La densité physique, elle, diminue avec le temps comme \((1+z)^3\) à cause de l'expansion.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'étape finale où la théorie abstraite des fluctuations gaussiennes se transforme en une prédiction concrète et testable : "Dans un volume donné de l'Univers à une époque donnée, voilà combien de halos de type Voie Lactée vous devriez trouver". C'est ce lien direct avec l'observation qui rend ces calculs si puissants.
Normes (la référence réglementaire)
Les valeurs des paramètres cosmologiques \(\Omega_{m,0}\) et \(\rho_{c,0}\) sont, comme \(\sigma_8\), issues des consensus établis par les grandes collaborations observationnelles (Planck, WMAP, etc.). L'utilisation de ces valeurs standards est essentielle pour pouvoir comparer les prédictions théoriques entre elles et avec les données.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La densité de matière moyenne est \(\bar{\rho}_m = \Omega_{m,0} \cdot \rho_{c,0}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On fait l'approximation simple que toute la masse \(F(>M)\) est contenue dans des halos de masse exactement \(M\). En réalité, il y a une distribution de masses, et un calcul plus rigoureux impliquerait de dériver la fonction de masse \(dn/dM\) et de l'intégrer. Cependant, cette approche donne le bon ordre de grandeur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\Omega_{m,0} = 0.3\)
- \(\rho_{c,0} = 2.775 \times 10^{11} \, M_\odot / \text{Mpc}^3\)
- \(M = 10^{12} \, M_\odot\)
- \(F(>M) \approx 0.807\) (du calcul Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez les unités. \(\bar{\rho}_m\) est en \(M_\odot / \text{Mpc}^3\). En divisant par \(M\) (en \(M_\odot\)), on obtient bien une unité de \(1 / \text{Mpc}^3\), c'est-à-dire un nombre par unité de volume. C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs.
Schéma (Avant les calculs)
Comptage de Halos dans un Volume Cosmique
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la densité de matière moyenne :
2. Calculer la densité numérique :
Schéma (Après les calculs)
Densité Numérique Prédite
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est de 0.067 halos par Mégaparsec cube. Cela signifie que si vous preniez un cube de l'Univers d'un Mpc de côté (environ 3.26 millions d'années-lumière), vous vous attendriez à y trouver en moyenne 0.067 halos de la taille de la Voie Lactée ou plus. C'est une prédiction concrète qui peut être comparée aux observations de grands relevés de galaxies ou aux résultats de simulations numériques cosmologiques pour tester la validité de notre modèle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre la densité de matière \(\Omega_{m,0}\) avec la densité totale \(\Omega_{tot}=1\), ou la densité critique \(\rho_{c,0}\) avec la densité moyenne de matière \(\bar{\rho}_m\). Chaque terme a une signification précise et les intervertir mène à des résultats incorrects.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La densité numérique est la prédiction finale et observable du modèle.
- Elle est obtenue en multipliant la densité de masse moyenne par la fraction de masse effondrée, et en divisant par la masse.
- Le résultat est exprimé en nombre d'objets par unité de volume comobile.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les simulations cosmologiques modernes, comme IllustrisTNG ou EAGLE, simulent des milliards de particules de matière noire dans des volumes de plusieurs centaines de Mpc de côté. Les scientifiques comparent ensuite directement la fonction de masse des halos trouvés dans leurs simulations aux prédictions des modèles analytiques comme Press-Schechter ou Sheth-Tormen pour tester et affiner notre compréhension de la physique de la formation des structures.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant les résultats des "A vous de jouer" précédents (\(\sigma \approx 0.8\), \(\nu \approx 2.1\) pour un amas à z=0), estimez la densité numérique \(n(>M)\) des amas de \(3 \times 10^{14} \, M_\odot\) aujourd'hui. (Indice: erfc(2.1/\(\sqrt{2}\)) \(\approx\) 0.046)
Outil Interactif : Explorer la Fonction de Masse
Modifiez les paramètres cosmologiques et la masse pour voir leur influence sur l'abondance des halos.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
Le formalisme de Press-Schechter, bien que simple, souffre d'un problème connu sous le nom de "cloud-in-cloud" : il ne traite pas correctement le fait qu'un petit halo peut être contenu dans un plus grand. De plus, il prédit que 100% de la masse finit dans des halos, ce qui n'est pas tout à fait exact. Des modèles plus sophistiqués comme celui de Sheth-Tormen ont été développés pour corriger ces défauts, en se basant sur des modèles d'effondrement plus réalistes (ellipsoïdaux et non sphériques).
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi la matière noire est-elle si importante pour la formation des galaxies ?
La matière noire constitue environ 85% de toute la matière de l'Univers. Comme elle n'interagit pas avec la lumière, elle a pu commencer à s'effondrer gravitationnellement bien avant la matière ordinaire (baryonique). Elle a ainsi formé des "puits" de potentiel gravitationnel (les halos) dans lesquels le gaz ordinaire a pu ensuite tomber pour former les étoiles et les galaxies que nous voyons.
Est-ce que ce modèle fonctionne pour toutes les masses de halos ?
Le modèle de Press-Schechter fonctionne remarquablement bien pour les halos de masse intermédiaire, comme ceux des galaxies. Il est cependant moins précis pour les objets très peu massifs (halos nains) et très massifs (amas de galaxies), là où les hypothèses simplificatrices (effondrement sphérique, fluctuations gaussiennes) sont moins valides. Les simulations numériques sont nécessaires pour obtenir des prédictions précises à ces extrêmes.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on cherche des halos à un redshift plus élevé (plus tôt dans l'Univers), leur nombre à masse fixée sera...
2. Un Univers avec un \(\sigma_8\) plus grand (plus de fluctuations primordiales) produira...
- Halo de Matière Noire
- Concentration quasi-sphérique de matière noire, maintenue par sa propre gravité. Les halos sont les sites de formation des galaxies.
- Fonction de Masse
- Fonction qui donne la densité numérique (le nombre par unité de volume) des halos par intervalle de masse, \(dn/dM\).
- Redshift (z)
- Mesure du décalage de la lumière vers le rouge dû à l'expansion cosmique. Un grand z correspond à un objet lointain et donc à une époque précoce de l'Univers.
D’autres exercices de cosmologie:
0 commentaires