Imagerie Directe d'Exoplanètes

Contexte : La quête de l'Imagerie DirecteTechnique d'observation qui vise à séparer la lumière d'une exoplanète de celle, bien plus intense, de son étoile hôte, pour en obtenir une image..

Détecter une exoplanète est difficile ; en prendre une "photo" est un défi monumental. La difficulté majeure réside dans le contrasteRapport entre la luminosité de l'étoile et celle de la planète. Pour le système Terre-Soleil, ce rapport est de l'ordre de 10 milliards (10^10) en lumière visible. prodigieux entre l'étoile et sa planète. Une étoile comme le Soleil est des millions, voire des milliards de fois plus lumineuse que ses planètes. De plus, ces planètes sont angularitairement très proches de leur étoile. C'est comme essayer de voir une luciole à côté d'un phare de voiture à des kilomètres de distance.

Pour surmonter cela, les astronomes ont développé des techniques d'optique adaptativeTechnologie qui corrige en temps réel la turbulence de l'atmosphère terrestre, permettant d'obtenir des images beaucoup plus nettes depuis le sol. pour obtenir des images nettes, et la coronographieTechnique instrumentale consistant à masquer la lumière éblouissante de l'étoile à l'aide d'un cache (coronographe) pour révéler son environnement proche (disques, planètes). pour "éteindre" l'étoile.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera calculer les ordres de grandeur fondamentaux (contraste, séparation angulaire, résolution) qui définissent la difficulté de l'imagerie directe et justifient l'utilisation d'instruments complexes comme les coronographes sur les plus grands télescopes du monde.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le rapport de flux (contraste) entre une étoile et une planète à partir de leurs magnitudes.
Calculer la séparation angulaire d'un système planète-étoile vu de la Terre.
Calculer la limite de diffraction (pouvoir de résolution) d'un télescope.
Comprendre et calculer l'Angle de Travail Interne (IWA) d'un coronographe.
Appréhender les défis liés au rapport signal/bruit dans ce domaine.

Données de l'étude

Nous étudions un système exoplanétaire fictif, mais réaliste, composé d'une étoile de type solaire (G2V) et d'une exoplanète de type "Jupiter" sur une orbite large. Nous souhaitons l'observer avec un grand télescope au sol équipé d'un coronographe.

Fiche Technique du Système

Caractéristique	Valeur
Type d'étoile	G2V (similaire au Soleil)
Type de planète	Géante gazeuse (Jupiter)
Distance du système (d)	10 parsecs (pc)
Séparation orbitale (a)	5 Unités Astronomiques (UA)

Modèle du Système Exoplanétaire

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
\(M_*\)	Magnitude absolue de l'étoile (bande K)	3.3	mag
\(M_p\)	Magnitude absolue de la planète (bande K)	18.3	mag
D	Diamètre du télescope (ex: VLT)	8.2	m
\(\lambda\)	Longueur d'onde d'observation (Infrarouge)	2.2	\(\mu\)m
Constantes	1 parsec (pc)	\(206265\)	UA

Questions à traiter

Calculer le contrasteRapport entre la luminosité de l'étoile et celle de la planète. Pour le système Terre-Soleil, ce rapport est de l'ordre de 10 milliards (10^10) en lumière visible. (rapport de flux \(\frac{F_p}{F_*}\)) entre la planète et l'étoile.
Calculer la séparation angulaire (\(\theta\)) de la planète par rapport à son étoile, en secondes d'arc (arcsec).
Calculer la limite de diffractionAngle minimal que peut résoudre un instrument optique. En dessous de cet angle, deux points lumineux apparaissent comme un seul. (résolution angulaire théorique) du télescope à cette longueur d'onde, en arcsec.
Le coronographeTechnique instrumentale consistant à masquer la lumière éblouissante de l'étoile à l'aide d'un cache (coronographe) pour révéler son environnement proche (disques, planètes). utilisé a un Angle de Travail Interne (IWA)La plus petite séparation angulaire à laquelle le coronographe peut détecter un objet. Tout ce qui est plus proche de l'étoile est caché. de \(4 \lambda/D\). Calculer cet IWA en arcsec.
En comparant la séparation angulaire (Q2) et l'IWA (Q4), concluez : la planète est-elle théoriquement détectable (c'est-à-dire, n'est-elle pas cachée par le masque) ?

Bases de l'Optique et de la Coronographie

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts clés : la relation entre la magnitude et le flux (le contraste), et la relation entre la taille, la distance et l'angle (la résolution).

1. Contraste et Magnitudes
Le système des magnitudes est logarithmique. La différence de magnitude (\(\Delta M\)) entre deux objets est liée à leur rapport de flux (luminosité) \(F_1/F_2\) par la formule : \[ \Delta M = M_1 - M_2 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \] Pour trouver le rapport de flux (le contraste \(\frac{F_p}{F_*}\)), on inverse la formule : \[ \text{Contraste} = \frac{F_p}{F_*} = 10^{-0.4 \times (M_p - M_*)} \]

2. Séparation Angulaire et Résolution
Séparation Angulaire (\(\theta\)) : Pour de petits angles, l'angle \(\theta\) (en radians) sous lequel on voit un objet de taille (ou séparation) \(a\) à une distance \(d\) est : \(\theta \approx a/d\). En astronomie, on utilise une formule simplifiée très pratique : \[ \theta \text{ [arcsec]} = \frac{a \text{ [UA]}}{d \text{ [pc]}} \] Limite de Diffraction : La résolution maximale d'un télescope (le plus petit détail qu'il peut voir) est limitée par la diffraction. Le critère de Rayleigh donne cette limite (en radians) : \[ \theta_{\text{res}} \text{ [rad]} \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} \] Où \(\lambda\) est la longueur d'onde et \(D\) le diamètre du télescope (dans les mêmes unités).

Correction : Imagerie Directe d'Exoplanètes

Question 1 : Calculer le contraste (rapport de flux \(\frac{F_p}{F_*}\)) entre la planète et l'étoile.

Principe

L'objectif est de quantifier l'énorme différence de luminosité entre l'étoile et la planète. Le système des magnitudes est logarithmique (pratique pour nos yeux et pour gérer de grands écarts), mais pour comprendre le défi technique, nous devons le convertir en un rapport linéaire (un "facteur"). C'est la première étape pour comprendre à quel point l'étoile est plus brillante que la planète.

Mini-Cours

La Loi de Pogson (Magnitudes vs Flux) : Le système des magnitudes est une échelle inversée et logarithmique. La différence de magnitude (\(\Delta M\)) entre deux objets est liée à leur rapport de flux (luminosité) \(F_1/F_2\) par la formule : \[ \Delta M = M_1 - M_2 = -2.5 \log_{10}\left(\frac{F_1}{F_2}\right) \] Pour trouver le rapport de flux (le contraste \(\frac{F_p}{F_*}\)) à partir de la différence de magnitude, on doit inverser cette formule : \[ \frac{F_1}{F_2} = 10^{\frac{\Delta M}{-2.5}} = 10^{-0.4 \times \Delta M} \] En appliquant cela à notre planète (p) et notre étoile (*), on obtient la formule de notre exercice.

Remarque Pédagogique

Comprendre ce contraste est le défi n°1 de l'imagerie directe. Un rapport de \(10^{-6}\) signifie que pour chaque photon reçu de la planète, nous en recevons un million de l'étoile. Le coronographe doit bloquer 999 999 photons de l'étoile pour nous laisser voir le seul photon de la planète.

Normes

Le système des magnitudes apparentes et absolues, basé sur la loi de Pogson, est une convention standardisée utilisée par l'Union Astronomique Internationale (UAI) pour quantifier la luminosité des objets célestes.

Formule(s)

La formule de conversion de la différence de magnitude en rapport de flux est :

\text{Contraste} = \frac{F_p}{F_*} = 10^{-0.4 \times (M_p - M_*)}

Hypothèses

Nous supposons deux choses :

Les magnitudes données sont dans la même bande passante photométrique (ici, la bande K infrarouge). Comparer des magnitudes de différentes bandes n'a pas de sens direct.
La magnitude de la planète est dominée par la lumière qu'elle émet (sa propre chaleur), car les géantes gazeuses jeunes sont chaudes. En lumière visible, on calculerait plutôt la lumière stellaire qu'elle réfléchit.

Donnée(s)

D'après le tableau de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Magnitude Planète	\(M_p\)	18.3	mag
Magnitude Étoile	\(M_*\)	3.3	mag

Astuces

Retenez ces ordres de grandeur : une différence de 5 magnitudes correspond *exactement* à un facteur 100 en flux (\(10^{-0.4 \times 5} = 10^{-2}\)). Une différence de 2.5 magnitudes correspond à un facteur \(\approx\) 10 (\(10^{-0.4 \times 2.5} = 10^{-1}\)).
Ici, \(\Delta M = 15 = 5 + 5 + 5\). Le rapport de flux est donc \(10^{-2} \times 10^{-2} \times 10^{-2} = 10^{-6}\). C'est un excellent moyen de vérifier le calcul !

Schéma (Avant les calculs)

Nous avons une source très brillante (Étoile) et une source très faible (Planète). Nous cherchons le rapport de leur intensité lumineuse (Flux).

Défi du Contraste

Calcul(s)

Nous appliquons les formules en remplaçant les symboles par les valeurs des données.

Étape 1 : Calculer la différence de magnitude (\(\Delta M\))

\begin{aligned} \Delta M &= M_p - M_* \\ \Delta M &= 18.3 - 3.3 \\ \Delta M &= 15.0 \end{aligned}

Étape 2 : Calculer le rapport de flux (Contraste)

Formule de base :

\text{Contraste} = 10^{-0.4 \times \Delta M}

On remplace \(\Delta M\) par 15.0 :

\begin{aligned} \text{Contraste} &= 10^{-0.4 \times 15.0} \\ &= 10^{-6.0} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(10^{-6}\) signifie que le flux de l'étoile est 1 million de fois plus grand que celui de la planète.

Rapport de Flux (Échelle)

Réflexions

Un contraste de \(10^{-6}\) signifie que l'étoile est 1 million de fois plus brillante que la planète. C'est déjà un défi immense. En lumière visible (où \(\Delta M\) serait plus grand), ce contraste serait encore plus faible (pire) ! C'est pourquoi l'imagerie directe se fait en infrarouge : les planètes (chaudes) y sont "moins faibles" par rapport à leur étoile (dont l'émission de corps noir diminue).

Points de vigilance

Ne pas inverser \(M_p\) et \(M_*\). Le contraste est un nombre très petit (inférieur à 1), donc l'exposant doit être négatif. Assurez-vous que \(M_p\) (le nombre le plus grand, car objet moins brillant) vient en premier dans la soustraction. Une erreur de signe (\(10^{+6}\)) donnerait un résultat absurde.

Points à retenir

Le système de magnitude est inversé : grand nombre = objet faible.
La relation est logarithmique.
\(\Delta M = 15\) correspond à un facteur de contraste de \(10^6\) (un million).

Le saviez-vous ?

Pour le système Terre-Soleil en lumière visible, le contraste est d'environ \(10^{-10}\) (dix milliards !). En infrarouge thermique (où la Terre émet sa propre chaleur), le contraste est bien meilleur, autour de \(10^{-7}\). C'est pourquoi les futurs télescopes spatiaux visant à imager des "exo-Terres" travailleront dans l'infrarouge.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le contraste entre la planète et l'étoile est de \(10^{-6}\) (ou 1 sur 1 million).

A vous de jouer

Si la planète était plus jeune et plus chaude, avec une magnitude \(M_p = 15.8\), quel serait le nouveau contraste ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Contraste (Rapport de Flux).
Formule Essentielle : \(\text{Rapport} = 10^{-0.4 \times \Delta M}\).
Résultat : \(10^{-6}\).

Question 2 : Calculer la séparation angulaire (\(\theta\)) de la planète par rapport à son étoile, en secondes d'arc (arcsec).

Principe

Nous allons calculer l'angle apparent, tel que vu depuis la Terre, entre l'étoile et la planète. Cela détermine à quel point ils nous semblent "proches" dans le ciel.

Mini-Cours

Angle et Distance : La taille apparente (angulaire) d'un objet dépend de sa taille réelle et de sa distance. Pour les très petits angles, comme en astronomie, on utilise l'approximation "petits angles" : \(\tan(\theta) \approx \theta \text{ [rad]} = \frac{\text{taille}}{\text{distance}}\).
En astronomie, les unités sont choisies pour simplifier cela : 1 parsec (pc) est *défini* comme la distance à laquelle 1 Unité Astronomique (UA) est vue sous un angle de 1 seconde d'arc (arcsec). La formule devient donc une simple division.

Remarque Pédagogique

Comprendre cet angle est crucial. S'il est trop petit, la planète sera "noyée" dans la lumière de l'étoile, non pas à cause du contraste (ça, c'est le problème Q1), mais simplement parce qu'elle est *physiquement* trop proche dans l'image. C'est le deuxième défi majeur de l'imagerie directe.

Normes

Il ne s'agit pas d'une "norme" de construction, mais d'une convention de calcul fondamentale en astrophysique, basée sur la définition du parsec.

Formule(s)

La formule la plus simple liant la séparation physique (en UA) et la distance (en parsecs) à la séparation angulaire (en arcsec) est :

\theta \text{ [arcsec]} = \frac{a \text{ [UA]}}{d \text{ [pc]}}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous faisons deux hypothèses :

L'orbite de la planète est vue "par la tranche" (inclinaison de 90°) et la planète est à sa séparation maximale (élongation maximale). En réalité, si l'orbite est vue de face, la séparation apparente est plus petite.
L'approximation des petits angles est parfaitement valide.

Donnée(s)

D'après le tableau de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Séparation orbitale	\(a\)	5	UA
Distance du système	\(d\)	10	pc

Astuces

Cette formule \(\theta = a/d\) est un des outils les plus utilisés en astrophysique pour estimer les tailles angulaires. Retenez-la ! Si vous avez `a` en UA et `d` en pc, le résultat est *directement* en arcsec, sans aucune conversion compliquée.

Schéma (Avant les calculs)

Nous reprenons le schéma de l'énoncé qui montre la relation géométrique entre l'observateur, la distance `d`, la séparation `a` et l'angle \(\theta\) que nous cherchons.

Modèle du Système Exoplanétaire

Calcul(s)

Nous appliquons la formule de la séparation angulaire en remplaçant `a` et `d` par leurs valeurs.

Formule de base :

\theta \text{ [arcsec]} = \frac{a \text{ [UA]}}{d \text{ [pc]}}

On remplace \(a=5\) et \(d=10\) :

\begin{aligned} \theta &= \frac{5}{10} \\ \theta &= 0.5 \text{ arcsec} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul nous dit que l'angle \(\theta\) que nous avons schématisé dans l'énoncé est de 0.5 seconde d'arc.

Angle de Séparation

Réflexions

0.5 seconde d'arc, c'est très petit ! C'est environ 1/3600ème de la taille apparente de la pleine lune. Sans optique adaptativeTechnologie qui corrige en temps réel la turbulence de l'atmosphère terrestre, permettant d'obtenir des images beaucoup plus nettes depuis le sol., la turbulence atmosphérique ("seeing") brouillerait complètement cette image en une tache informe de 1 à 2 arcsec de large, rendant l'étoile et la planète indiscernables.

Points de vigilance

La principale erreur est d'essayer de convertir les UA en mètres et les parsecs en mètres. La formule \(\theta = a/d\) ne fonctionne *que* si les unités sont [arcsec], [UA] et [pc]. Si vous mélangez les unités, le calcul devient très complexe et source d'erreurs.

Points à retenir

Pour un système exoplanétaire, la séparation angulaire est un paramètre clé. Elle se calcule simplement par \(\theta \text{ [arcsec]} = a \text{ [UA]} / d \text{ [pc]}\). Une séparation plus grande est plus facile à observer.

Le saviez-vous ?

L'un des systèmes les plus célèbres imagés directement est HR 8799. Ses planètes sont à des séparations de 15, 24, 38 et 68 UA. Comme le système est à 40 pc, cela donne des angles de 0.38", 0.6", 0.95" et 1.7" : un défi parfait pour les grands télescopes !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La séparation angulaire entre la planète et l'étoile est de 0.5 arcsec.

A vous de jouer

Si la même planète orbitait à 20 UA (au lieu de 5), quelle serait sa séparation angulaire ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Séparation Angulaire.
Formule Essentielle : \(\theta \text{ [arcsec]} = a \text{ [UA]} / d \text{ [pc]}\).
Résultat : 0.5 arcsec.

Question 3 : Calculer la limite de diffraction (\(\theta_{\text{res}}\)) du télescope à cette longueur d'onde.

Principe

Nous déterminons la "netteté" maximale théorique du télescope. C'est la plus petite taille angulaire qu'il peut distinguer. Toute séparation plus petite que cela sera vue comme un seul point flou.

Mini-Cours

Le Critère de Rayleigh : À cause de la nature ondulatoire de la lumière, un télescope à ouverture circulaire (diamètre D) ne focalise pas la lumière d'une étoile en un point parfait, mais en une "tache" centrale (le disque d'AiryFigure de diffraction centrale produite par une ouverture circulaire, contenant environ 84% de la lumière.) entourée d'anneaux. Le critère de Rayleigh stipule que deux points sont "résolus" (vus comme distincts) si le centre de la tache d'Airy de l'un est au moins sur le premier anneau sombre de l'autre. Cet angle minimum est la limite de diffraction.

Remarque Pédagogique

Cette formule est fondamentale en optique. Elle nous dit deux choses : (1) Pour voir de petits détails (petit \(\theta_{\text{res}}\)), il faut un grand télescope (grand D). (2) Pour une même taille de télescope, la résolution est moins bonne (angle \(\theta_{\text{res}}\) plus grand) à de plus grandes longueurs d'onde (\(\lambda\)).

Normes

Ceci est une loi fondamentale de la physique (optique de Fourier / diffraction de Fraunhofer), pas une norme d'ingénierie.

Formule(s)

La limite de diffraction (critère de Rayleigh) en radians est :

\theta_{\text{res}} \text{ [rad]} \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}

Nous aurons besoin de convertir les radians en secondes d'arc : \(1 \text{ rad} \approx 206265 \text{ arcsec}\).

Hypothèses

Nous supposons que le télescope a une ouverture circulaire simple (pas d'obstruction centrale, ce qui est faux mais donne une bonne approximation) et que l'optique est parfaite (on parle de "limite de diffraction"). L'optique adaptative vise à atteindre cette limite théorique en corrigeant l'atmosphère.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\)	2.2 \(\mu\)m	\( = 2.2 \times 10^{-6} \text{ m}\)
Diamètre Télescope	\(D\)	8.2	m

Astuces

Une formule approchée très utilisée en astronomie pour la résolution en arcsec est : \(\theta_{\text{res}} \text{ [arcsec]} \approx \frac{0.25 \times \lambda \text{ [}\mu\text{m]}}{D \text{ [m]}}\).
Vérification : \(0.25 \times 2.2 / 8.2 = 0.55 / 8.2 \approx 0.067"\). Notre calcul précis devrait être très proche de cela !

Schéma (Avant les calculs)

Le critère de Rayleigh : deux sources (bleu, orange) sont "juste résolues" lorsque le pic de l'une tombe sur le premier minimum de l'autre. La somme (vert) montre un "creux" distinct.

Critère de Rayleigh

Calcul(s)

Le calcul se fait en deux étapes : d'abord en unités SI (radians), puis en unités astronomiques (arcsec).

Étape 1 : Calculer la résolution en radians

Formule de base :

\theta_{\text{res}} \text{ [rad]} = 1.22 \frac{\lambda}{D}

On remplace \(\lambda=2.2 \times 10^{-6} \text{ m}\) et \(D=8.2 \text{ m}\) :

\begin{aligned} \theta_{\text{res}} \text{ [rad]} &= 1.22 \times \left( \frac{2.2 \times 10^{-6}}{8.2} \right) \\ &= 1.22 \times (2.683 \times 10^{-7}) \\ &= 3.273 \times 10^{-7} \text{ rad} \end{aligned}

Étape 2 : Convertir en secondes d'arc

Formule de conversion :

\theta_{\text{res}} \text{ [arcsec]} = \theta_{\text{res}} \text{ [rad]} \times 206265

On remplace par la valeur de l'Étape 1 :

\begin{aligned} \theta_{\text{res}} \text{ [arcsec]} &= (3.273 \times 10^{-7}) \times 206265 \\ &\approx 0.0675 \text{ arcsec} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison de notre résolution (petit angle) à notre séparation de planète (grand angle). La planète est bien au-delà de la limite de résolution.

Échelles Angulaires

Réflexions

La résolution du télescope (0.0675") est bien plus petite que la séparation de la planète (0.5"). Cela signifie que, *en théorie*, le télescope est assez puissant pour "séparer" la planète de l'étoile (on les verrait comme deux points distincts). Le problème n'est donc pas la résolution, mais le contraste (Q1) ! L'étoile est 1 million de fois trop brillante.

Points de vigilance

La conversion d'unités est le piège n°1. \(\lambda\) doit être en mètres si D est en mètres. La conversion radians en arcsec (multiplier par 206265) est le piège n°2. N'oubliez pas le facteur 1.22 !

Points à retenir

La résolution s'améliore (angle plus petit) avec un plus grand télescope (D \(\uparrow\)).
La résolution se dégrade (angle plus grand) à de plus grandes longueurs d'onde (\(\lambda \uparrow\)).

Le saviez-vous ?

C'est pour cela que les radio-télescopes (qui observent à \(\lambda\) = plusieurs cm ou m) doivent être gigantesques pour avoir une bonne résolution. Ne pouvant construire un télescope de 10km de large, ils utilisent l'interférométrie (ex: ALMA, VLA) pour *simuler* un diamètre D équivalent à la distance entre les antennes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La limite de diffraction du télescope est \(\approx 0.068\) arcsec.

A vous de jouer

Quel serait la résolution si on observait en lumière visible (\(\lambda = 0.55 \mu m\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Limite de Diffraction (Résolution).
Formule Essentielle : \(\theta_{\text{res}} = 1.22 \lambda / D\).
Point de Vigilance : Unités (\(\mu\)m \(\rightarrow\) m) et conversion (rad \(\rightarrow\) arcsec).

Question 4 : Le coronographe a un IWA de \(4 \lambda/D\). Calculer cet IWA en arcsec.

Principe

L'IWA (Inner Working Angle) est la taille du "masque" central du coronographe. Tout ce qui est à un angle plus petit que l'IWA est caché avec l'étoile. Nous devons calculer la taille de ce masque en arcsec.

Mini-Cours

Un coronographeInstrument conçu pour bloquer la lumière d'une étoile afin de voir son environnement faible. simple place un masque opaque dans le plan focal du télescope, là où l'image de l'étoile se forme. L'IWA est l'angle correspondant au rayon de ce masque. Un "bon" coronographe a un IWA le plus petit possible, pour sonder au plus près de l'étoile. L'IWA est presque toujours exprimé en unités de \(\lambda/D\).

Remarque Pédagogique

Notez que l'IWA n'est pas une loi physique, c'est une caractéristique instrumentale. Un IWA de \(4 \lambda/D\) est typique pour un coronographe classique qui doit être assez grand pour bloquer la majorité de la lumière stellaire, y compris les premiers anneaux de diffraction brillants.

Normes

La définition \(IWA = k \lambda/D\) est une convention de design instrumental.

Formule(s)

La définition donnée est :

IWA = 4 \times \frac{\lambda}{D}

Notez qu'il n'y a pas le facteur 1.22. C'est une définition instrumentale.

Hypothèses

Nous supposons que le coronographe est bien aligné et que sa performance est nominale.

Donnée(s)

Nous avons déjà calculé \(\lambda\) et \(D\). Nous pouvons réutiliser le rapport \(\lambda/D\) calculé à la question 3, mais *sans* le 1.22.

Paramètre	Description	Valeur
\(\lambda/D\) (rad)	Rapport de base	\(\frac{2.2 \times 10^{-6}}{8.2} = 2.683 \times 10^{-7}\) rad
\(\lambda/D\) (arcsec)	Converti en arcsec	\( (2.683 \times 10^{-7}) \times 206265 \approx 0.0553 \) arcsec

Astuces

Puisque \(\theta_{\text{res}} = 1.22 \times (\lambda/D)\), on peut aussi calculer \(\lambda/D = \theta_{\text{res}} / 1.22\).
\( \lambda/D \approx 0.0675" / 1.22 \approx 0.0553"\). Le résultat est cohérent. C'est un bon moyen de vérifier.

Schéma (Avant les calculs)

Image de l'étoile (tache d'Airy) dans le plan focal. Le coronographe (en rouge) est un masque qui bloque la partie centrale, y compris le pic et les premiers anneaux.

Masque Coronagraphique

Calcul(s)

Comme pour la Q3, nous calculons d'abord le rapport \(\lambda/D\) en radians, puis nous appliquons le facteur 4 et convertissons.

Étape 1 : Calculer le rapport \(\lambda/D\) en radians

\begin{aligned} \frac{\lambda}{D} &= \frac{2.2 \times 10^{-6} \text{ m}}{8.2 \text{ m}} \\ &= 2.683 \times 10^{-7} \text{ rad} \end{aligned}

Étape 2 : Calculer l'IWA en radians

Formule de base :

IWA \text{ [rad]} = 4 \times \left( \frac{\lambda}{D} \right)

On remplace par la valeur de l'Étape 1 :

\begin{aligned} IWA \text{ [rad]} &= 4 \times (2.683 \times 10^{-7}) \\ &= 1.073 \times 10^{-6} \text{ rad} \end{aligned}

Étape 3 : Convertir l'IWA en secondes d'arc

Formule de conversion :

IWA \text{ [arcsec]} = IWA \text{ [rad]} \times 206265

On remplace par la valeur de l'Étape 2 :

\begin{aligned} IWA \text{ [arcsec]} &= (1.073 \times 10^{-6}) \times 206265 \\ &\approx 0.221 \text{ arcsec} \end{aligned}

Réflexions

L'IWA (0.221") est plus grand que la limite de diffraction (0.068"). C'est normal : le coronographe doit masquer non seulement le pic de l'étoile, mais aussi les premiers anneaux de diffraction brillants pour être efficace. Le prix à payer est qu'on perd la zone très proche de l'étoile.

Question 5 : Concluez : la planète est-elle théoriquement détectable ?

Principe

Nous comparons deux angles critiques : la position réelle de la planète (\(\theta\)) et la taille du masque du coronographe (IWA). Pour être vue, la planète doit être à l'extérieur du masque.

Mini-Cours

Condition de Détection Géométrique : Pour qu'une planète soit imagée, sa lumière ne doit pas être bloquée par le masque du coronographe. Sa séparation angulaire \(\theta\) doit donc être supérieure à l'Angle de Travail Interne (IWA) de l'instrument. C'est la première condition fondamentale de détection en imagerie directe. Si \(\theta < IWA\), la planète est dans la "zone aveugle" et sa lumière est rejetée avec celle de l'étoile.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de synthèse ! Nous avons deux chiffres : 0.5" (où est la planète) et 0.22" (où est le bord du masque). La conclusion est une simple comparaison. Notez que ce n'est qu'une "détectabilité théorique". En pratique, il faut aussi que le signal de la planète soit plus fort que le "bruit" (les restes de lumière stellaire non bloquée), ce qui dépend du contraste (Q1).

Normes

N/A. C'est une conclusion logique basée sur les calculs précédents.

Formule(s)

La condition de détection est :

\theta > IWA \quad ?

Hypothèses

Nous supposons ici que le coronographe et l'optique adaptative sont parfaits et que le seul critère est la position géométrique de la planète par rapport au masque.

Donnée(s)

Résultats des questions précédentes :

Paramètre	Source	Valeur
Séparation Angulaire Planète	Question 2	\(\theta = 0.5\) arcsec
Angle de Travail Interne	Question 4	\(IWA = 0.22\) arcsec

Astuces

Visualisez toujours cela comme une cible. L'IWA est le rayon du "cœur" noir de la cible (la zone masquée). \(\theta\) est la distance de votre "flèche" (la planète) par rapport au centre. Si la flèche est hors du cœur noir, elle est visible.

Schéma (Avant les calculs)

Voir l'astuce : nous allons comparer les deux rayons.

Calcul(s)

C'est une simple comparaison des résultats de Q2 et Q4 :

Condition de détection :

\theta > IWA \quad ?

Nos valeurs :

0.5 \text{ arcsec (Planète)} > 0.22 \text{ arcsec (Masque)}

Conclusion :

\text{La condition est VRAIE.}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre la situation. La planète (en vert) se trouve bien à l'extérieur de la zone masquée par le coronographe (en rouge).

Position de la Planète vs. IWA

Réflexions

Puisque \(\theta > IWA\), la planète n'est pas bloquée par le masque. Cela signifie que sa lumière peut atteindre le détecteur. C'est la première condition de détection. La deuxième (non traitée ici) serait d'avoir un rapport signal/bruit suffisant, ce qui dépend du contraste (Q1) et du temps de pose.

Points de vigilance

Assurez-vous que la comparaison est dans le bon sens. On veut que la planète soit \(\text{>}\) (plus grande que) l'IWA. Si c'est \(\text{<}\) (plus petit), elle est cachée.

Points à retenir

La condition de détection géométrique est : Séparation Angulaire > IWA.
L'IWA (\(k \lambda/D\)) est une caractéristique cruciale d'un coronographe. Un IWA plus petit permet de sonder des planètes plus proches de leur étoile.

Le saviez-vous ?

La toute première exoplanète imagée (ou plutôt, compagnon planétaire), 2M1207b, a été un cas "facile" : elle est à 0.78" de son étoile (une naine brune, donc peu lumineuse) et le contraste n'est "que" de 1/100, la rendant relativement facile à voir !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Oui, la planète est théoriquement détectable car sa séparation angulaire (0.5") est supérieure à l'IWA du coronographe (0.22").

A vous de jouer

Si la planète était sur une orbite de 2 UA (au lieu de 5), serait-elle détectable ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Condition de Détection Géométrique.
Comparaison : \(\theta \text{ vs } IWA\).
Résultat : \(\theta > IWA\) \(\rightarrow\) Détectable.

Outil Interactif : Simulateur de Détectabilité

Utilisez les curseurs pour voir comment la séparation de la planète et le diamètre du télescope affectent la détectabilité (Séparation vs IWA). On garde \(\lambda = 2.2 \mu m\) et \(d = 10 pc\).

Paramètres d'Entrée

Séparation Planète (a) (UA) 5 UA

Diamètre Télescope (D) (m) 8.2 m

Résultats Clés (IWA = \(4 \lambda/D\))

Séparation Angulaire (\(\theta\)) (arcsec) -

IWA (arcsec) -

Détectable ? (\(\theta >\) IWA) -

Glossaire

Contraste: Rapport entre la luminosité (flux) de la planète et celle de l'étoile. C'est le défi principal de l'imagerie directe.
Coronographe: Instrument optique placé dans un télescope pour bloquer la lumière directe d'une étoile, afin de révéler des objets faibles dans son voisinage immédiat.
Limite de Diffraction (\(1.22 \lambda/D\)): La résolution angulaire minimale (le plus petit détail) qu'un télescope peut théoriquement voir, déterminée par sa taille (D) et la longueur d'onde (\(\lambda\)).
Angle de Travail Interne (IWA): La plus petite séparation angulaire par rapport à l'étoile à l'intérieur de laquelle le coronographe bloque toute la lumière. Pour détecter une planète, elle doit être à un angle > IWA.
Magnitude (mag): Échelle logarithmique de la luminosité d'un objet. Une magnitude plus élevée signifie un objet moins brillant.
Parsec (pc) & Unité Astronomique (UA): Unités de distance. 1 UA est la distance Terre-Soleil. 1 pc est la distance à laquelle 1 UA est vue sous un angle de 1 arcsec (1 pc \approx 3.26 années-lumière).

Imagerie Directe d’Exoplanètes

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Système

Modèle du Système Exoplanétaire

Questions à traiter

Bases de l'Optique et de la Coronographie

Correction : Imagerie Directe d'Exoplanètes

Question 1 : Calculer le contraste (rapport de flux \(\frac{F_p}{F_*}\)) entre la planète et l'étoile.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Défi du Contraste

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Rapport de Flux (Échelle)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la séparation angulaire (\(\theta\)) de la planète par rapport à son étoile, en secondes d'arc (arcsec).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modèle du Système Exoplanétaire

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Angle de Séparation

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la limite de diffraction (\(\theta_{\text{res}}\)) du télescope à cette longueur d'onde.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Critère de Rayleigh

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Échelles Angulaires

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Le coronographe a un IWA de \(4 \lambda/D\). Calculer cet IWA en arcsec.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)