Calcul de la Masse de Sagittarius A*

Comprendre la Méthode

Au cœur de notre galaxie se trouve Sagittarius A*La source radio compacte et très lumineuse au centre de la Voie Lactée, considérée comme l'emplacement du trou noir supermassif. (Sgr A*), un trou noir supermassif. Comment peser un objet que l'on ne peut pas voir ? En observant ce qui l'entoure ! Les astronomes ont suivi pendant des décennies les orbites d'étoiles très proches de Sgr A*, notamment une étoile nommée S2. En appliquant la troisième loi de Kepler à l'orbite de S2, on peut déterminer avec une précision remarquable la masse de l'objet central qui la gouverne. Cet exercice reproduit ce calcul fondamental, qui a valu le prix Nobel de physique 2020 à Reinhard Genzel et Andrea Ghez.

Remarque Pédagogique : Contrairement au calcul de la masse de la Voie Lactée (exercice précédent) où l'on utilisait une orbite circulaire, l'orbite de S2 est très elliptique. Nous devrons donc utiliser la forme la plus générale de la troisième loi de Kepler.

Données de l'étude (Étoile S2)

Nous allons utiliser les paramètres orbitaux de l'étoile S2 pour déduire la masse de Sgr A*.

Paramètres Orbitaux et Constantes :

Période de révolution (\(P\)) : \(16.05\) ans
Demi-grand axe (\(a\)) : \(970 \, \text{UA}\)
Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)
1 Unité AstronomiqueL'Unité Astronomique (UA) est une unité de longueur correspondant approximativement à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil, soit environ 150 millions de kilomètres. (UA) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
1 année : \(3.154 \times 10^{7} \, \text{s}\)
1 Masse SolaireL'unité de masse standard en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ 2 x 10³⁰ kg). (\(M_{\odot}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)

Schéma de l'Orbite de l'Étoile S2

Questions à traiter

Convertir la période \(P\) en secondes et le demi-grand axe \(a\) en mètres.
Énoncer la 3ème loi de Kepler reliant la masse \(M\), la période \(P\), et le demi-grand axe \(a\).
Calculer la masse de Sgr A* en kilogrammes.
Convertir cette masse en masses solaires (\(M_{\odot}\)).

Correction : Peser Sagittarius A*

Question 1 : Conversion des Unités

Principe :

Pour utiliser la constante gravitationnelle \(G\) en unités du Système International (SI), nous devons convertir toutes nos grandeurs (distance et temps) dans ces mêmes unités (mètres et secondes).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La gestion des unités est l'étape la plus critique dans tout calcul astrophysique. Une erreur de conversion peut mener à un résultat erroné de plusieurs ordres de grandeur.

Calcul(s) :

Conversion de la période P :

\begin{aligned} P &= 16.05 \, \text{ans} \times (3.154 \times 10^7 \, \text{s/an}) \\ &\approx 5.06 \times 10^8 \, \text{s} \end{aligned}

Conversion du demi-grand axe a :

\begin{aligned} a &= 970 \, \text{UA} \times (1.496 \times 10^{11} \, \text{m/UA}) \\ &\approx 1.45 \times 10^{14} \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : \(P \approx 5.06 \times 10^8\) secondes et \(a \approx 1.45 \times 10^{14}\) mètres.

Question 2 : Énoncé de la 3ème Loi de Kepler

Principe :

La troisième loi de Kepler relie la période orbitale (\(P\)) et le demi-grand axe (\(a\)) d'un objet en orbite à la masse centrale (\(M\)). On suppose que la masse de l'étoile S2 est négligeable par rapport à celle du trou noir.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette formule est l'une des plus puissantes en astrophysique. Elle est universelle et permet de calculer la masse de n'importe quel objet (étoile, planète, galaxie, trou noir) du moment qu'on peut observer un autre corps en orbite autour de lui.

Formule(s) utilisée(s) :

P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} a^3

Puisque la masse de l'étoile \(m\) est négligeable devant celle du trou noir \(M\), on a \(M+m \approx M\). En réarrangeant pour isoler M, on obtient :

M = \frac{4\pi^2 a^3}{G P^2}

Question 3 : Calcul de la Masse en Kilogrammes

Principe :

Il suffit maintenant de substituer les valeurs converties de \(a\) et \(P\) dans la formule de la masse.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Faites attention aux puissances lors du calcul. La valeur de \(a\) est au cube et celle de \(P\) au carré, ce qui amplifie l'importance de la précision des conversions initiales.

Formule(s) utilisée(s) :

M = \frac{4\pi^2 a^3}{G P^2}

Calcul(s) :

\begin{aligned} M &= \frac{4\pi^2 (1.45 \times 10^{14} \, \text{m})^3}{(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2})(5.06 \times 10^8 \, \text{s})^2} \\ &= \frac{4\pi^2 (3.048 \times 10^{42})}{(6.674 \times 10^{-11})(2.56 \times 10^{17})} \\ &= \frac{1.20 \times 10^{44}}{1.708 \times 10^7} \, \text{kg} \\ &\approx 7.03 \times 10^{36} \, \text{kg} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La masse de Sagittarius A* est d'environ \(7.0 \times 10^{36} \, \text{kg}\).

Question 4 : Conversion en Masses Solaires

Principe :

Pour avoir une meilleure intuition de cette masse gigantesque, on la convertit en masses solairesL'unité de masse standard en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ 2 x 10³⁰ kg). (\(M_{\odot}\)) en divisant le résultat en kg par la masse du Soleil.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le résultat final de ~3.5 millions de masses solaires est une valeur extraordinairement concentrée. Le fait qu'une telle masse soit contenue dans un volume plus petit que l'orbite de Mercure est la preuve la plus forte qu'il s'agit d'un trou noir supermassif.

Formule(s) utilisée(s) :

M \, (\text{en } M_{\odot}) = \frac{M \, (\text{en kg})}{M_{\odot} \, (\text{en kg})}

Calcul(s) :

\begin{aligned} M &= \frac{7.03 \times 10^{36} \, \text{kg}}{1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}/M_{\odot}} \\ &\approx 3.53 \times 10^6 \, M_{\odot} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La masse de Sagittarius A* est d'environ 3.5 millions de masses solaires.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée
Période de S2 en secondes	Cliquez pour révéler
Demi-grand axe de S2 en mètres	Cliquez pour révéler
Masse de Sgr A*	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Une autre étoile, S62, a une période encore plus courte de 9.9 ans. En supposant une orbite similaire, quelle serait la masse de Sgr A* calculée à partir de cette étoile (en millions de \(M_{\odot}\)) ?

Masse (10⁶ M☉) =

Pièges à Éviter

Unités SI : Contrairement au calcul précédent, il est plus simple ici d'utiliser G en unités SI (m, kg, s). Assurez-vous que P et a sont bien convertis.

Puissances : Attention à bien mettre le demi-grand axe au cube (\(a^3\)) et la période au carré (\(P^2\)) dans la formule finale.

Le Saviez-Vous ?

En 2019, le projet Event Horizon Telescope a réussi l'exploit de capturer la toute première image de l'ombre d'un trou noir : celui au centre de la galaxie M87. En 2022, ils ont réitéré l'exploit avec notre propre Sagittarius A*. L'image ne montre pas le trou noir lui-même, mais la silhouette sombre qu'il projette sur le gaz chaud et lumineux qui tourbillonne autour de lui, confirmant les prédictions de la relativité générale d'Einstein à une échelle extrême.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la masse de l'étoile S2 est-elle négligeable ?

L'étoile S2 est une étoile massive d'environ 10 à 15 masses solaires. Cependant, le trou noir central, Sgr A*, a une masse de plusieurs millions de masses solaires. La masse de S2 est donc moins de 0.001% de la masse totale du système. L'ignorer dans le calcul (\(M+m \approx M\)) est une excellente approximation.

Comment mesure-t-on la période et le demi-grand axe si précisément ?

Cela a nécessité plus de 30 ans d'observations continues avec de très grands télescopes, comme le Very Large Telescope (VLT) au Chili et les télescopes Keck à Hawaï. En utilisant des techniques d'optique adaptative pour corriger les turbulences de l'atmosphère terrestre, les astronomes ont pu suivre la position de S2 avec une précision incroyable pour tracer son orbite complète et en déduire ses paramètres.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La masse de Sagittarius A* est calculée en observant :

La lumière émise par le trou noir lui-même.
Les orbites des étoiles très proches de lui.
La taille de la galaxie.

2. Si une étoile avait la même orbite mais une période deux fois plus longue, la masse calculée du trou noir serait :

Quatre fois plus faible.
Deux fois plus faible.
Deux fois plus grande.

Glossaire

Sagittarius A* (Sgr A*): La source radio compacte et très lumineuse au centre de la Voie Lactée, considérée comme l'emplacement du trou noir supermassif.
Demi-grand axe (a): La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse. C'est une mesure clé de la taille d'une orbite.
Unité Astronomique (UA): L'Unité Astronomique (UA) est une unité de longueur correspondant approximativement à la distance moyenne entre la Terre et le Soleil, soit environ 150 millions de kilomètres.
Masse Solaire (\(M_{\odot}\)): L'unité de masse standard en astronomie, égale à la masse du Soleil (environ \(2 \times 10^{30}\) kg).

Calcul de la Masse de Sagittarius A*

Données de l'étude (Étoile S2)

Schéma de l'Orbite de l'Étoile S2

Questions à traiter

Correction : Peser Sagittarius A*

Question 1 : Conversion des Unités

Principe :

Remarque Pédagogique :

Calcul(s) :

Question 2 : Énoncé de la 3ème Loi de Kepler

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 3 : Calcul de la Masse en Kilogrammes

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Question 4 : Conversion en Masses Solaires

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Tableau Récapitulatif Interactif

À vous de jouer ! (Défi)

Pièges à Éviter

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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