Calcul de la Constante de Hubble

Le but est de visualiser la relation entre la vitesse d'éloignement des galaxies et leur distance. Cela permet de vérifier si les données expérimentales correspondent au modèle théorique de l'expansion de l'Univers.

On utilise les couples de données (distance, vitesse) fournis dans le tableau de l'énoncé. La distance (\(d\)) est en abscisse (axe X) et la vitesse (\(v\)) en ordonnée (axe Y).

Le graphique montre que les points de données s'alignent approximativement le long d'une droite qui passe près de l'origine. Cette tendance linéaire est une confirmation visuelle de la Loi de Hubble-Lemaître.

L'objectif est d'interpréter la signification physique de la pente de la droite observée sur le graphique. Il s'agit de faire le lien entre une propriété mathématique (la pente) et un concept fondamental de la cosmologie.

En comparant l'équation mathématique d'une droite (\(y=mx\)) à la loi de Hubble-Lemaître (\(v = H_0 d\)), on voit que la vitesse \(v\) joue le rôle de \(y\), la distance \(d\) joue le rôle de \(x\), et la constante de proportionnalité \(H_0\) joue le rôle de la pente \(m\). Par conséquent, la pente de la droite représente physiquement la constante de Hubble (\(H_0\)), qui est le taux d'expansion actuel de l'Univers.

Le principe est d'appliquer une méthode mathématique rigoureuse, celle des moindres carrés, pour calculer la pente de la droite qui minimise la distance entre la droite et l'ensemble des points de données.

Pour une droite de régression forcée à passer par l'origine (\(y = mx\)), la formule de la pente \(m\) (ici \(H_0\)) est donnée par :

D'abord, préparons les calculs intermédiaires dans un tableau :

Ensuite, appliquons la formule :

Si l'expansion de l'Univers a été constante, alors le temps écoulé depuis son origine (le Big Bang) est simplement l'inverse du taux d'expansion. C'est ce qu'on appelle le "temps de Hubble". La logique est simple : si une galaxie s'éloigne à une vitesse \(v\) et se trouve à une distance \(d\), le temps qu'il a fallu pour parcourir cette distance est \(T = d/v\). Or, comme \(v = H_0 \cdot d\), on a \(T = d / (H_0 \cdot d) = 1/H_0\).

L'âge de l'Univers (\(T\)) est estimé par l'inverse de la constante de Hubble :

L'hypothèse cruciale ici est que le taux d'expansion de l'Univers (\(H_0\)) a été constant depuis le Big Bang. C'est une simplification, car nous savons maintenant que l'expansion a ralenti puis s'est accélérée au cours de l'histoire cosmique.

Étape 1 : Inverser \(H_0\) et convertir les unités

Étape 2 : Conversion des Mégaparsecs en kilomètres

Avec \(1 \text{ Mpc} \approx 3.086 \times 10^{19} \text{ km}\) :

Étape 3 : Conversion des secondes en milliards d'années

Avec \(1 \text{ année} \approx 3.154 \times 10^7 \text{ s}\) :

Notre estimation simple donne un âge de 14.3 milliards d'années. C'est remarquablement proche de la valeur de consensus scientifique actuelle (13.8 milliards d'années), obtenue par des méthodes bien plus complexes. Cela montre que même un modèle simple peut capturer l'essence d'un phénomène physique.