Analyse MHD de la Zone Convective
Contexte : La Magnétohydrodynamique (MHD) stellaireL'étude de la dynamique des fluides conducteurs (plasmas) dans les étoiles, en interaction avec les champs magnétiques..
Les étoiles comme notre Soleil ne sont pas des boules de gaz inertes ; elles sont des sphères de plasmaUn état de la matière où les atomes sont ionisés, créant un "gaz" de particules chargées (ions et électrons) qui est électriquement conducteur. en rotation et en convection. Ces mouvements de plasma génèrent et interagissent avec des champs magnétiques via un processus de dynamoProcessus par lequel un corps céleste en rotation, en convection, et conducteur génère et maintient un champ magnétique.. La MHD est la théorie physique qui décrit cette interaction.
Dans cet exercice, nous allons analyser les conditions physiques dans la zone convective d'une étoile de type solaire pour déterminer le rôle du champ magnétique : domine-t-il le plasma, ou est-ce le plasma qui le contrôle ? Et ce champ est-il "figé" dans la matière ?
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et à comparer les grandeurs fondamentales de la MHD (pression de gaz vs pression magnétique) et à utiliser le nombre de Reynolds magnétiqueUn nombre sans dimension qui compare l'ampleur de l'advection (transport par le fluide) à la diffusion du champ magnétique. pour déterminer si le champ est "figé" dans le plasma, un concept clé pour comprendre l'activité stellaire.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer et comparer la pression du gaz (\(P_g\)) et la pression magnétique (\(P_B\)).
- Calculer et interpréter le paramètre Bêta (\(\beta\))Le rapport de la pression du gaz à la pression magnétique. Il indique quelle force domine le plasma. du plasma.
- Calculer et interpréter le nombre de Reynolds magnétique (\(R_m\)) pour évaluer le "gel" du champ dans le plasma.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Étoile
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type Spectral | G2V (Naine jaune) |
| Masse | \(1 M_{\odot}\) (\(1.989 \times 10^{30}\) kg) |
| Rayon | \(1 R_{\odot}\) (\(6.96 \times 10^{8}\) m) |
Structure d'une Étoile de Type Solaire
| Paramètre de la couche | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ magnétique moyen | \(B\) | 50 | Gauss |
| Température moyenne | \(T\) | \(1 \times 10^5\) | K (Kelvin) |
| Densité numérique moyenne | \(n\) | \(1 \times 10^{22}\) | \(\text{m}^{-3}\) |
| Échelle de longueur (ex: cellule) | \(L\) | \(1 \times 10^8\) | m |
| Vitesse convective typique | \(v\) | 500 | m/s |
| Diffusivité magnétique du plasma | \(\eta\) (eta) | 10 | \(\text{m}^2/\text{s}\) |
Questions à traiter
- Calculer la pression du gaz (pression thermique) \(P_g\) dans cette couche.
- Calculer la pression magnétique \(P_B\) exercée par le champ.
- Calculer le paramètre Bêta (\(\beta\)) du plasma et interpréter le résultat.
- Calculer la vitesse d'Alfvén (\(v_A\)) dans ce milieu.
- Calculer le nombre de Reynolds magnétique (\(R_m\)) et interpréter le résultat.
Les bases de la Magnétohydrodynamique (MHD)
La MHD décrit le plasma comme un fluide conducteur. Deux concepts clés s'affrontent : la pression du gaz (due à l'agitation thermique) et la pression du champ magnétique (due à "l'énergie" stockée dans le champ).
1. Pression et Paramètre Bêta (\(\beta\))
La pression du gaz, pour un plasma se comportant comme un gaz parfait, est :
\[ P_g = n k_B T \]
Où \(n\) est la densité numérique, \(k_B\) la constante de Boltzmann (\(1.38 \times 10^{-23}\) J/K), et \(T\) la température.
La pression magnétique, qui représente l'énergie du champ par unité de volume, est :
\[ P_B = \frac{B^2}{2\mu_0} \]
Où \(B\) est le champ en Tesla, et \(\mu_0\) la perméabilité du vide (\(4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A).
Le rapport des deux, le paramètre Bêta, nous dit qui domine :
\[ \beta = \frac{P_g}{P_B} \]
2. Équation d'Induction et Reynolds Magnétique (\(R_m\))
L'évolution du champ \(\vec{B}\) est décrite par l'équation d'induction :
\[ \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \underbrace{\nabla \times (\vec{v} \times \vec{B})}_{\text{Advection (Gel)}} + \underbrace{\eta \nabla^2 \vec{B}}_{\text{Diffusion (Dissipation)}} \]
Le nombre de Reynolds magnétique \(R_m\) compare l'amplitude de ces deux termes :
\[ R_m = \frac{|\nabla \times (\vec{v} \times \vec{B})|}{|\eta \nabla^2 \vec{B}|} \sim \frac{v L}{\eta} \]
Où \(L\) et \(v\) sont l'échelle de longueur et la vitesse typiques du fluide, et \(\eta\) la diffusivité.
Correction : Analyse MHD de la Zone Convective
Question 1 : Calculer la pression du gaz (pression thermique) \(P_g\)
Principe
Nous cherchons à quantifier la force par unité de surface que les particules du plasma (ions et électrons) exercent les unes sur les autres et sur leur environnement, simplement à cause de leur agitation thermique (leur température).
Mini-Cours
La pression d'un gaz, ou d'un plasma se comportant comme tel, est directement liée à sa densité numérique (le nombre de particules par mètre cube) et à sa température. C'est l'essence même de la loi des gaz parfaits : plus il y a de particules, ou plus elles sont agitées (chaudes), plus elles "poussent" sur leur environnement.
Remarque Pédagogique
L'erreur classique est de confondre la densité numérique \(n\) (en \(\text{particules/m}^3\)) avec la masse volumique \(\rho\) (en \(\text{kg/m}^3\)). Pour la pression thermique, c'est le nombre de chocs qui compte, d'où l'utilisation de \(n\).
Équation Fondamentale
Nous utilisons la loi des gaz parfaits, où la pression est le produit de la densité numérique et de l'énergie thermique moyenne par particule (proportionnelle à \(k_B T\)).
Formule(s)
La formule de la pression de gaz est :
Hypothèses
Nous supposons que le plasma se comporte comme un gaz parfait et que les valeurs de \(n\) et \(T\) fournies sont des moyennes représentatives de la couche étudiée.
Donnée(s)
Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Densité numérique | \(n\) | \(1 \times 10^{22}\) | \(\text{m}^{-3}\) |
| Température | \(T\) | \(1 \times 10^5\) | K |
| Constante de Boltzmann | \(k_B\) | \(1.38 \times 10^{-23}\) | J/K |
Astuces
Vérifiez que toutes vos unités sont dans le Système International (SI) : \(\text{m}^{-3}\) pour \(n\), K pour \(T\), J/K pour \(k_B\). Le résultat sera en \(\text{J/m}^3\), ce qui est équivalent à des Pascals (Pa), l'unité SI de la pression.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du concept : des particules (points) dans un volume (carré) s'agitent (flèches) à cause de la température T.
Agitation Thermique (Pression Gazeuse)
Calcul(s)
Nous appliquons la formule en insérant les valeurs.
Étape 1 : Application de la formule \(P_g = n k_B T\)
Étape 2 : Conversion en Pascals
Réflexions
Une pression de 13800 Pa. Pour référence, la pression atmosphérique au niveau de la mer sur Terre est d'environ 101325 Pa. Cette couche de l'étoile est donc moins dense et "pressurisée" que l'air que nous respirons, mais elle est incroyablement plus chaude.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans l'addition des exposants des puissances de 10. \((22 - 23 + 5) = (-1 + 5) = 4\). Vérifiez toujours ce calcul simple !
Points à retenir
La pression de gaz \(P_g\) est le produit \(n k_B T\). Elle représente la force dominante dans les environnements astrophysiques où la densité et/ou la température sont très élevées et le champ magnétique faible.
Le saviez-vous ?
La constante de Boltzmann \(k_B\) est l'un des piliers de la physique statistique. Elle fait le pont fondamental entre le monde microscopique (l'énergie d'une particule) et le monde macroscopique (la température que nous mesurons).
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Que se passe-t-il si la température est deux fois plus élevée (\(T = 2 \times 10^5 \text{ K}\)) mais la densité est la même ? Quelle est la nouvelle pression \(P_g\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Pression thermique d'un gaz parfait.
- Formule Essentielle : \(P_g = n k_B T\).
- Point de Vigilance Majeur : Utiliser les unités SI (K, \(\text{m}^{-3}\)).
Question 2 : Calculer la pression magnétique \(P_B\) exercée par le champ
Principe
Nous cherchons à quantifier la force par unité de surface exercée par le champ magnétique lui-même. Les lignes de champ magnétique agissent comme des bandes élastiques tendues : elles résistent à la compression et exercent une pression vers l'extérieur.
Mini-Cours
Un champ magnétique \(B\) stocke de l'énergie dans le vide (ou dans un plasma). La densité de cette énergie (énergie par unité de volume) est \(U_B = B^2 / (2\mu_0)\). En physique, une densité d'énergie est dimensionnellement équivalente à une pression. C'est la pression magnétique \(P_B\).
Remarque Pédagogique
Contrairement à la pression de gaz qui est isotrope (elle pousse dans toutes les directions), la pression magnétique est plus complexe. Elle agit perpendiculairement aux lignes de champ. La formule \(P_B\) que nous utilisons représente cette pression de "compression" des lignes de champ.
Normes
Le calcul doit être effectué en utilisant les unités du Système International (SI) pour que les constantes fondamentales comme \(\mu_0\) (la perméabilité du vide) soient valides. C'est pourquoi la conversion des unités non-SI (comme le Gauss) est une étape obligatoire.
Formule(s)
La formule de la pression magnétique est :
Hypothèses
Nous supposons que le champ \(B\) donné (50 G) est le champ moyen dans la région. Nous supposons aussi que le plasma est suffisamment peu dense pour que sa perméabilité magnétique \(\mu\) soit approximativement égale à celle du vide (\(\mu \approx \mu_0\)).
Donnée(s)
Nous extrayons les données et constantes nécessaires.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ magnétique | \(B\) | 50 | Gauss |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | T·m/A |
Astuces
PIÈGE MAJEUR ! L'unité la plus piégeuse en magnétisme est le Gauss (G)Unité CGS du champ magnétique. 1 Tesla = 10 000 Gauss.. Tous les calculs en SI (avec \(\mu_0\)) doivent être faits en Tesla (T)Unité SI du champ magnétique.. N'oubliez jamais la conversion : \(1 \text{ Tesla} = 10^4 \text{ Gauss}\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du concept : des lignes de champ parallèles se repoussent mutuellement, créant une pression perpendiculaire à elles (flèches rouges).
Pression Magnétique
Calcul(s)
D'abord, convertir \(B\) en Tesla, puis appliquer la formule.
Étape 1 : Conversion du champ magnétique \(B\) en Tesla
Étape 2 : Calcul de \(P_B\)
Étape 3 : Résultat final
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma supplémentaire nécessaire après ce calcul, le résultat est une valeur scalaire (une pression).
Réflexions
La pression magnétique est d'environ 10 Pa. En comparant qualitativement avec le résultat de la Q1 (13800 Pa), nous voyons que la pression magnétique est beaucoup, beaucoup plus faible que la pression du gaz. Cela nous donne déjà un indice fort sur la dynamique de ce plasma.
Points de vigilance
Deux pièges : 1. Oublier la conversion Gauss $\rightarrow$ Tesla. 2. Oublier de mettre le champ \(B\) au carré. Si vous oubliez le carré, votre résultat sera faux de plusieurs ordres de grandeur.
Points à retenir
- La pression magnétique \(P_B\) est proportionnelle à \(B^2\).
- La conversion \(1 \text{ T} = 10^4 \text{ G}\) est fondamentale.
Le saviez-vous ?
Dans les magnétars, des étoiles à neutrons aux champs extrêmes, \(B\) peut atteindre \(10^{10}\) Tesla. La pression magnétique \(P_B\) est alors si colossale qu'elle domine de loin toutes les autres forces, y compris la gravité à la surface, et peut déformer la croûte de l'étoile.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez \(P_B\) pour un champ de 200 Gauss (typique d'une tache solaire). Note : si \(B\) est 4 fois plus grand, \(P_B\) (qui est en \(B^2\)) devrait être \(4^2 = 16\) fois plus grande.
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Pression du champ magnétique.
- Formule Essentielle : \(P_B = B^2 / (2\mu_0)\).
- Point de Vigilance Majeur : Convertir \(B\) en Tesla ! \(1\text{T} = 10^4\text{G}\).
Question 3 : Calculer et interpréter le paramètre Bêta (\(\beta\)) du plasma
Principe
Le paramètre Bêta (\(\beta\)) est un simple rapport, un nombre sans dimension, qui compare les deux forces que nous venons de calculer. C'est le "score" du match : Pression du Gaz vs Pression Magnétique. Il nous dit "qui gagne" dans le plasma.
Mini-Cours
En physique des plasmas, \(\beta\) est fondamental.
- Si \(\beta \gg 1\) (Bêta élevé), \(P_g \gg P_B\). La pression du gaz domine. La dynamique du fluide (convection, turbulence) contrôle le champ magnétique, l'étirant et le tordant.
- Si \(\beta \ll 1\) (Bêta faible), \(P_B \gg P_g\). La pression magnétique domine. Le champ dicte la structure du plasma, forçant le gaz à s'écouler le long des lignes de champ.
Remarque Pédagogique
Le calcul de \(\beta\) est la première étape cruciale de toute analyse MHD. Avant de savoir *comment* le plasma bouge, on doit savoir *qui* commande : le gaz ou le champ ? \(\beta\) répond à cette question.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme, mais d'une définition standard en physique des plasmas. C'est un outil de diagnostic universel.
Formule(s)
La définition du paramètre Bêta est :
Hypothèses
Nous supposons que les pressions \(P_g\) et \(P_B\) que nous avons calculées aux questions 1 et 2 sont représentatives du même volume de plasma et peuvent être directement comparées.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats finaux des questions 1 et 2.
- \(P_g = 13800 \text{ Pa}\) (de Q1)
- \(P_B \approx 9.95 \text{ Pa}\) (de Q2)
Astuces
Puisque \(\beta\) est un rapport de deux pressions (Pa / Pa), c'est un nombre sans dimension. Si vous obtenez des unités, vous avez fait une erreur. C'est un bon moyen de vérification.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser \(\beta\) comme une balance comparant les deux pressions.
Balance des Pressions (β)
Calcul(s)
On effectue la division des deux valeurs.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma "Avant les calculs" illustre déjà parfaitement le résultat : la balance penche lourdement du côté de \(P_g\).
Réflexions
Interprétation : \(\beta \approx 1387 \gg 1\).
Un Bêta très supérieur à 1 signifie que la pression du gaz est près de 1400 fois plus forte que la pression magnétique.
Conséquence : le plasma domine totalement la dynamique. C'est le gaz qui, par ses mouvements de convection, va pousser, tordre et étirer les lignes de champ magnétique. Le champ est "esclave" du fluide.
Points de vigilance
Assurez-vous de ne pas inverser le rapport. On définit presque toujours \(\beta = P_{\text{gaz}} / P_{\text{mag}}\). L'inverser (calculer \(1/\beta\)) donnerait une interprétation physique totalement erronée (on conclurait à tort que le champ domine).
Points à retenir
- \(\beta \gg 1\) : Le plasma contrôle le champ (Ex: zone convective, vent solaire).
- \(\beta \ll 1\) : Le champ contrôle le plasma (Ex: couronne solaire, magnétosphères).
Le saviez-vous ?
Dans la couronne solaire, très chaude mais extrêmement peu dense, la situation est inversée. \(P_g\) est très faible et \(P_B\) domine. On a un plasma à \(\beta \ll 1\), où les fameuses "boucles coronales" que l'on voit en UV sont simplement du plasma piégé, forcé de suivre les lignes de champ magnétique.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(P_g = 10000 \text{ Pa}\) et \(P_B = 500 \text{ Pa}\), que vaut \(\beta\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Domination Gaz vs Champ.
- Formule : \(\beta = P_g / P_B\).
- Interprétation : \(\beta \gg 1 \Rightarrow\) Gaz domine. \(\beta \ll 1 \Rightarrow\) Champ domine.
Question 4 : Calculer la vitesse d'Alfvén (\(v_A\))
Principe
La vitesse d'Alfvén est la vitesse à laquelle les "vagues" magnétiques (des perturbations) se propagent le long des lignes de champ. C'est l'équivalent MHD de la vitesse du son. Elle dépend de la "rigidité" de la ligne de champ (liée à \(B\)) et de l'inertie du milieu (sa masse volumique \(\rho\)).
Mini-Cours
Tout comme une corde de guitare tendue, une ligne de champ a une "tension" (\(B^2\)). Si on la "pince" (on la perturbe), elle vibre. La vitesse de cette vibration est \(v_A\). Plus la tension (\(B\)) est forte, plus la vitesse est élevée. Plus la corde est lourde (masse volumique \(\rho\)), plus elle est lente à réagir, et plus la vitesse est faible.
Remarque Pédagogique
Comparer \(v_A\) à la vitesse du son (\(c_s\)) et à la vitesse du fluide (\(v\)) est crucial. Si \(v_A > v\) (comme on le verra ici), le champ peut se réajuster (l'onde se propage) plus vite que le fluide ne le perturbe. Si \(v > v_A\), le fluide crée une onde de choc MHD.
Normes
Encore une fois, l'utilisation du Système International (SI) est impérative : \(B\) en Tesla (T), \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\), et \(\mu_0\) en T·m/A. Le résultat sera en m/s.
Formule(s)
La vitesse d'Alfvén est :
Nous devons d'abord calculer la masse volumique \(\rho\) (rho) à partir de la densité numérique \(n\). En supposant un plasma composé uniquement d'hydrogène (protons), \(m_{\text{particule}} \approx m_p\) (masse du proton).
Hypothèses
Nous supposons un plasma d'hydrogène pur, donc la masse moyenne par particule est la masse du proton (\(m_p\)). C'est une approximation courante dans les étoiles comme le Soleil.
Donnée(s)
Données requises pour ce calcul :
- \(B = 5 \times 10^{-3} \text{ T}\) (de Q2)
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\cdot\text{m/A}\)
- \(n = 1 \times 10^{22} \text{ m}^{-3}\) (de l'énoncé)
- \(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\) (constante)
Astuces
Attention à la confusion \(\rho\) vs \(n\) ! La pression \(P_g\) dépend de \(n\) (le nombre), mais l'inertie (et donc \(v_A\)) dépend de \(\rho\) (la masse). C'est le piège classique de cette question.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation d'une onde (perturbation) se propageant le long d'une ligne de champ B.
Onde d'Alfvén
Calcul(s)
Deux étapes : calculer \(\rho\), puis \(v_A\).
Étape 1 : Calcul de la masse volumique \(\rho\)
Étape 2 : Calcul de \(v_A\)
Étape 3 : Résultat final
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma supplémentaire nécessaire. Le résultat est une vitesse.
Réflexions
La vitesse d'Alfvén est d'environ 1091 m/s (ou ~1.1 km/s). C'est significativement plus rapide que la vitesse de convection \(v = 500\) m/s donnée dans l'énoncé. Cela signifie que le champ magnétique peut se réajuster (via les ondes d'Alfvén) plus vite que le fluide ne le perturbe, même si le fluide est globalement dominant (\(\beta \gg 1\)).
Points de vigilance
Attention à la racine carrée ! Elle s'applique à tout le dénominateur (\(\mu_0 \rho\)). N'oubliez pas non plus d'utiliser \(B\) en Tesla et \(\rho\) en \(\text{kg/m}^3\). L'erreur \(n\) vs \(\rho\) est la plus commune ici.
Points à retenir
- \(v_A\) est la vitesse de propagation de l'information magnétique.
- Elle est proportionnelle à \(B\) (champ plus "rigide" $\rightarrow$ plus rapide).
- Elle est inversement proportionnelle à \(\sqrt{\rho}\) (milieu plus "lourd" $\rightarrow$ plus lent).
Le saviez-vous ?
Les ondes d'Alfvén, prédites par Hannes Alfvén en 1942 (ce qui lui a valu le prix Nobel en 1970), sont activement étudiées comme un mécanisme possible pour chauffer la couronne solaire à des millions de degrés, bien plus que la surface (photosphère) à 5800 K.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le champ \(B\) double (100 Gauss) mais que \(\rho\) ne change pas, que devient \(v_A\) ? (Indice: \(v_A \propto B\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Vitesse de propagation des ondes MHD.
- Formule : \(v_A = B / \sqrt{\mu_0 \rho}\).
- Point de Vigilance : Utiliser \(\rho\) (kg/m³), pas \(n\) (m⁻³).
Question 5 : Calculer et interpréter le nombre de Reynolds magnétique (\(R_m\))
Principe
Le nombre de Reynolds magnétique (\(R_m\)) est un nombre sans dimension qui compare deux processus : l'entraînement (advection) du champ magnétique par le fluide en mouvement, et la dissipation (diffusion) de ce champ à cause de la résistance électrique du plasma (sa "diffusivité" \(\eta\)).
Mini-Cours
L'équation d'induction MHD (\(\partial \vec{B}/\partial t = \nabla \times (\vec{v} \times \vec{B}) + \eta \nabla^2 \vec{B}\)) régit le champ.
- Le terme \(\nabla \times (\vec{v} \times \vec{B})\) (\(\sim v B / L\)) est l'advection : le fluide entraîne le champ.
- Le terme \(\eta \nabla^2 \vec{B}\) (\(\sim \eta B / L^2\)) est la diffusion : le champ se dissipe.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas \(R_m\) (Reynolds magnétique) avec \(Re\) (Reynolds fluide, \(Re = v L / \nu\), où \(\nu\) est la viscosité). \(Re\) vous dit si un fluide est turbulent ou laminaire. \(R_m\) vous dit si le champ est "figé" ou non.
Normes
C'est une définition standard en MHD. Toutes les unités doivent être SI (m, s, m/s, m²/s) pour que le résultat soit sans dimension.
Formule(s)
La formule pour estimer \(R_m\) est :
Hypothèses
Nous supposons que les valeurs \(L\), \(v\) et \(\eta\) données dans l'énoncé sont les échelles caractéristiques dominantes pour les processus d'advection et de diffusion dans cette couche.
Donnée(s)
Données requises pour ce calcul :
- Échelle de longueur : \(L = 1 \times 10^8 \text{ m}\)
- Vitesse convective : \(v = 500 \text{ m/s}\)
- Diffusivité magnétique : \(\eta = 10 \text{ m}^2/\text{s}\)
Astuces
Les échelles astrophysiques sont si grandes (grand \(L\)) et les plasmas si bons conducteurs (petit \(\eta\)) que \(R_m\) est presque toujours gigantesque. Si vous trouvez un \(R_m < 1\) pour une étoile, vérifiez vos calculs !
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation : un tourbillon (vitesse \(v\), taille \(L\)) tord une ligne de champ (advection, \(R_m \gg 1\)), tandis que la diffusion (\(\eta\)) essaie de la "lisser" (cas \(R_m \ll 1\)).
Advection vs. Diffusion (Gel du Champ)
Calcul(s)
Application directe de la formule.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(R_m = 5 \times 10^9\) confirme que la situation est celle de gauche dans le schéma ci-dessus ("Gelé").
Réflexions
Interprétation : \(R_m = 5 \times 10^9 \gg 1\).
Un \(R_m\) astronomiquement grand signifie que le terme d'advection domine totalement le terme de diffusion.
Conséquence : le champ magnétique est "figé" (ou "gelé") dans le plasma. Partout où le plasma va, il entraîne les lignes de champ avec lui. C'est cette condition (\(R_m \gg 1\)) qui permet aux mouvements de convection (le terme \(v\)) d'étirer et d'amplifier le champ, créant l'effet dynamo qui maintient le magnétisme de l'étoile.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités de \(L\), \(v\) et \(\eta\) sont cohérentes (toutes en SI). \(\eta\) (eta) est en \(\text{m}^2/\text{s}\) (une longueur au carré par temps), ce qui est la dimension d'une diffusivité.
Points à retenir
- \(R_m \gg 1\) : Le champ est "figé" dans le fluide. C'est le cas de la plupart des plasmas astrophysiques.
- \(R_m \ll 1\) : Le champ diffuse librement (ex: dans un métal au repos).
Le saviez-vous ?
La condition \(R_m \gg 1\) est l'hypothèse de base de la "MHD idéale" (ou parfaite), où l'on néglige totalement la diffusion. La plupart des modèles de dynamo stellaire (l'origine du champ) reposent sur cette hypothèse fondamentale.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse \(v\) était deux fois plus rapide (1000 m/s), que deviendrait \(R_m\) ? (Indice: \(R_m \propto v\)).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Champ "figé" (gelé) vs. diffusion.
- Formule : \(R_m = L v / \eta\).
- Interprétation : \(R_m \gg 1 \Rightarrow\) Champ figé.
Outil Interactif : Simulateur \(\beta\) (Pression Gaz vs Mag)
Explorez comment le champ magnétique (\(B\)) et la température (\(T\)) influencent le paramètre Bêta. La densité numérique \(n\) est fixée à \(10^{22} \text{ m}^{-3}\) (comme dans l'exercice).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que mesure principalement le paramètre Bêta (\(\beta\)) ?
2. Si un plasma a un \(\beta \ll 1\) (Bêta très petit), quelle force domine la dynamique ?
3. Un nombre de Reynolds magnétique \(R_m \gg 1\) implique que :
4. Quelle est l'unité du Système International (SI) pour le champ magnétique, à utiliser dans les formules MHD ?
5. La pression magnétique \(P_B\) est proportionnelle à quelle puissance du champ \(B\) ?
Glossaire
- Gauss (G)
- Une unité (CGS) de mesure de l'intensité du champ magnétique. 1 Tesla = 10 000 Gauss. L'utilisation du Gauss est fréquente en astrophysique mais nécessite une conversion en Tesla (SI) pour les calculs.
- Magnétohydrodynamique (MHD)
- La discipline de la physique qui étudie la dynamique des fluides électriquement conducteurs (comme les plasmas) interagissant avec des champs magnétiques.
- Nombre de Reynolds Magnétique (\(R_m\))
- Un nombre sans dimension qui compare le terme d'advection (transport du champ par le fluide) au terme de diffusion (dissipation du champ). Si \(R_m \gg 1\), le champ est dit "figé" dans le fluide.
- Paramètre Bêta (\(\beta\))
- Un nombre sans dimension qui compare la pression thermique du gaz (\(P_g\)) à la pression magnétique (\(P_B\)). Il détermine si la dynamique est dominée par le fluide (\(\beta \gg 1\)) ou par le champ (\(\beta \ll 1\)).
- Plasma
- Le quatrième état de la matière, où les atomes sont ionisés (les électrons sont séparés des noyaux). Les plasmas sont d'excellents conducteurs d'électricité et composent 99% de la matière visible de l'univers (étoiles, nébuleuses).
- Tesla (T)
- L'unité du Système International (SI) pour l'intensité du champ magnétique. \(1 \text{ T} = 10^4 \text{ G}\).
- Vitesse d'Alfvén (\(v_A\))
- La vitesse de propagation d'une perturbation (onde) le long d'une ligne de champ magnétique dans un plasma. Elle dépend de la "rigidité" du champ (\(B\)) et de l'inertie du milieu (\(\rho\)).
D’autres exercices d’Astrophysique Stellaire:
0 commentaires