Équilibre Hydrostatique d'une Atmosphère Planétaire

Contexte : L'atmosphère planétaireL'enveloppe gazeuse qui entoure une planète, maintenue par la gravité. et la pression.

Dans cet exercice, nous allons étudier comment la pression atmosphérique varie avec l'altitude sur une exoplanète tellurique fictive, nommée "Exo-B". La compréhension de ce profil de pression est cruciale en planétologie pour caractériser l'habitabilité potentielle, l'effet de serre, ou la stabilité de l'eau liquide en surface. Nous utiliserons l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique, fondamentale pour décrire la structure verticale des atmosphères et des étoiles.

Remarque Pédagogique : Cet exercice relie la thermodynamique (loi des gaz parfaits) à la mécanique des fluides (équilibre des forces). C'est un classique absolu en astrophysique et en sciences de l'atmosphère.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'équation de l'équilibre hydrostatique.
Calculer l'échelle de hauteur (\(H\)) d'une atmosphère.
Déterminer la pression à une altitude donnée dans une atmosphère isotherme.

Données de l'étude : La planète Exo-B

Nous considérons une atmosphère composée principalement de dioxyde de carbone (\(CO_2\)), similaire à celle de Mars ou Vénus, sur une planète rocheuse.

Fiche Technique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Accélération de la pesanteur	\(g\)	10	m/s²
Masse molaire moyenne du gaz	\(M\)	44	g/mol
Température (supposée constante)	\(T\)	250	K
Pression au sol (altitude \(z=0\))	\(P_0\)	\(10^5\)	Pa (1 bar)
Constante universelle des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J/(mol·K)

Modélisation de la colonne atmosphérique

Questions à traiter

Calculer la constante spécifique du gaz \(R_{\text{spec}}\) pour cette atmosphère.
Déterminer l'échelle de hauteur atmosphérique \(H\).
Calculer la pression atmosphérique à une altitude de \(z = 10 \text{ km}\).
Calculer la masse volumique (densité) \(\rho\) à cette même altitude.
Discuter de la validité de l'hypothèse isotherme (température constante).

Les bases théoriques

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux piliers de la physique :

1. La Loi des Gaz Parfaits
Elle relie la pression \(P\), la masse volumique \(\rho\) et la température \(T\) : \[ P = \rho R_{\text{spec}} T \] où \(R_{\text{spec}} = \frac{R}{M}\) est la constante spécifique du gaz considéré.

2. L'Équilibre Hydrostatique
Elle traduit l'équilibre entre la force de pression (qui pousse vers le haut) et le poids du gaz (qui tire vers le bas) : \[ \frac{dP}{dz} = - \rho g \]

Correction : Équilibre Hydrostatique d'une Atmosphère Planétaire

Question 1 : Calcul de la constante spécifique \(R_{\text{spec}}\)

Principe

La constante universelle des gaz parfaits \(R\) vaut pour une mole de gaz quelconque. Pour travailler avec des masses (kg) et des densités (\(kg/m^3\)), il est souvent plus pratique d'utiliser la constante spécifique au gaz étudié, qui dépend de sa masse molaire \(M\). C'est une étape préliminaire indispensable pour aligner les unités.

Mini-Cours

La relation est simple : \(R_{\text{spec}} = R / M\). Plus une molécule est lourde (grand \(M\)), plus sa constante spécifique est petite. Cela signifie qu'à température égale, un gaz lourd aura une pression plus faible pour une même densité qu'un gaz léger.

Remarque Pédagogique

Une erreur classique est de confondre \(R\) et \(R_{\text{spec}}\). Vérifiez toujours les unités : \(R\) est en J/(mol·K) alors que \(R_{\text{spec}}\) est en J/(kg·K). Si vous avez des "moles", utilisez \(R\). Si vous avez des "kilogrammes", utilisez \(R_{\text{spec}}\).

Normes

Le Système International (SI) impose l'utilisation du kilogramme (kg) pour la masse, du Kelvin (K) pour la température et du Joule (J) pour l'énergie.

Formule(s)

R_{\text{spec}} = \frac{R}{M}

Hypothèses

On suppose que l'atmosphère d'Exo-B, bien que composée majoritairement de CO2, se comporte comme un gaz parfait. On néglige les interactions intermoléculaires complexes.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante universelle	R	8.314	J/(mol·K)
Masse molaire du CO2	M	44	g/mol

Astuces

Pour l'air sur Terre, \(R_{\text{spec}} \approx 287\). Le CO2 étant plus lourd que l'air (44 contre 29 g/mol), on s'attend à trouver une valeur plus petite que 287. Si vous trouvez 8000, vous avez oublié la conversion en kg !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la molécule de gaz et ses propriétés.

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la masse molaire

La masse molaire est donnée en g/mol. Pour respecter les unités du Système International (SI) et obtenir un résultat en Joules, il est impératif de convertir la masse molaire donnée en grammes par mole vers des kilogrammes par mole.

\begin{aligned} M &= 44 \text{ g/mol} \\ &= \frac{44}{1000} \text{ kg/mol} \\ &= 0.044 \text{ kg/mol} \end{aligned}

Nous obtenons ainsi une masse molaire de 0.044 kg/mol, prête à être utilisée dans la formule.

Étape 2 : Application de la formule

Nous appliquons ensuite la relation de définition de la constante spécifique : on divise la constante universelle R par la masse molaire M.

\begin{aligned} R_{\text{spec}} &= \frac{R}{M} \\ &= \frac{8.314}{0.044} \\ &= 188.9545... \\ &\approx 188.95 \text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K}) \end{aligned}

Le résultat est d'environ 189 J/(kg·K). Cette valeur caractérise ce gaz spécifique.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul de constante.

Réflexions

La valeur obtenue (189) est effectivement inférieure à celle de l'air sec (287). Cela confirme notre intuition : le gaz "lourd" d'Exo-B est moins efficace pour créer de la pression à masse égale qu'un gaz léger.

Points de vigilance

Attention à la conversion g/mol -> kg/mol. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice.

Points à retenir

La constante spécifique est propre à chaque gaz.
L'unité SI de masse molaire est le kg/mol, pas le g/mol.

Le saviez-vous ?

Sur les planètes géantes comme Jupiter, l'atmosphère est faite d'hydrogène (H2, 2 g/mol). Leur \(R_{\text{spec}}\) est gigantesque (~4157), ce qui contribue à rendre ces atmosphères très étendues.

FAQ

Q : Peut-on utiliser R au lieu de R_spec ?
R : Oui, mais il faut alors utiliser le nombre de moles \(n\) au lieu de la masse \(m\) dans les formules (PV=nRT vs P=\(\rho\)R_specT). En dynamique des fluides, la densité \(\rho\) est plus courante.

Résultat Final

\(R_{\text{spec}} \approx 189 \text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K})\)

A vous de jouer

Et pour de l'hélium (M=4 g/mol), que vaudrait R_spec ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Calculer \(R_{\text{spec}} = R/M\) en convertissant M en kg/mol.

Question 2 : L'échelle de hauteur \(H\)

Principe

L'échelle de hauteur \(H\) est le "mètre étalon" de l'atmosphère. Elle représente l'altitude qu'il faut gravir pour que la pression soit divisée par environ 2,7 (le nombre \(e\)). C'est le résultat d'un combat physique : l'agitation thermique (T) cherche à dilater l'atmosphère vers le haut, tandis que la gravité (g) cherche à la plaquer au sol.

Mini-Cours

Mathématiquement, \(H\) apparaît lorsqu'on combine la loi des gaz parfaits (\(P = \rho R_{\text{spec}} T\)) et l'équation hydrostatique (\(dP/dz = -\rho g\)). On obtient une équation différentielle dont la solution fait intervenir la longueur caractéristique \(H = \frac{R_{\text{spec}} T}{g}\).

Remarque Pédagogique

\(H\) a la dimension d'une longueur (mètres). Si votre analyse dimensionnelle ne donne pas des mètres, il y a une erreur dans la formule utilisée.

Normes

Dans le modèle de l'Atmosphère Standard Internationale (ISA) terrestre, H est souvent approximée, mais ici nous la calculons précisément pour notre planète spécifique.

Formule(s)

H = \frac{R_{\text{spec}} T}{g} = \frac{R T}{M g}

Hypothèses

On suppose que l'accélération de la pesanteur \(g\) est constante sur l'épaisseur de l'atmosphère (ce qui est vrai pour les couches basses) et que la température \(T\) est uniforme (isotherme).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Température (T)	250 K
Gravité (g)	10 m/s²
R_spec (calculé en Q1)	188.95 J/kg/K

Astuces

Une analyse dimensionnelle rapide : J/kg/K * K / (m/s^2) = (N*m)/kg / (m/s^2) = (kg*m/s^2 * m)/kg / (m/s^2) = m. Ça colle !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la colonne d'air et des facteurs influents (T pousse vers le haut, g tire vers le bas).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du numérateur (Potentiel thermique)

Commençons par évaluer le numérateur de la formule de H, qui représente l'énergie d'agitation thermique par unité de masse (terme \( R_{\text{spec}} T \)).

\begin{aligned} R_{\text{spec}} \times T &= 188.95 \times 250 \\ &= 47\,237.5 \text{ (J/kg ou m}^2\text{/s}^2\text{)} \end{aligned}

Ce potentiel thermique s'élève à 47 237.5 (en unités de vitesse au carré).

Étape 2 : Division par la gravité

Pour obtenir l'échelle de hauteur, nous devons diviser ce potentiel thermique par l'accélération de la pesanteur \( g \), qui tend à tasser l'atmosphère vers le bas.

\begin{aligned} H &= \frac{R_{\text{spec}} T}{g} \\ &= \frac{47\,237.5}{10} \\ &= 4\,723.75 \text{ m} \end{aligned}

Nous trouvons une hauteur caractéristique d'environ 4724 mètres.

Schéma (Après les calculs)

Imaginez une barre verticale de 4.7 km. À cette altitude, la pression a chuté significativement.

Réflexions

On trouve \(H \approx 4.7\) km. C'est presque la moitié de l'échelle de hauteur terrestre. Cela confirme que l'atmosphère d'Exo-B est très concentrée près du sol. Monter de quelques kilomètres suffit à faire chuter la pression drastiquement.

Points de vigilance

N'oubliez pas que g est au dénominateur. Une gravité forte "écrase" l'atmosphère (petit H).

Points à retenir

H dépend de T, g et M.
Plus il fait chaud, plus H est grand (atmosphère dilatée).
Plus la planète est massive (g fort), plus H est petit.

Le saviez-vous ?

Pour une étoile à neutrons, la gravité est telle que l'atmosphère ne ferait que quelques millimètres d'épaisseur !

FAQ

Q : H est-elle vraiment constante ?
R : Non, dans la réalité T varie avec l'altitude, donc H varie aussi localement. Mais H calculé avec la température moyenne est un excellent indicateur global.

Résultat Final

\(H \approx 4.72 \text{ km}\)

A vous de jouer

Si la température doublait pour atteindre 500 K, que deviendrait l'échelle de hauteur ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : \(H = R_{\text{spec}}T / g\).

Question 3 : Pression à \(z = 10 \text{ km}\)

Principe

Maintenant que nous avons l'échelle de hauteur, nous pouvons prédire la pression à n'importe quelle altitude. Puisque nous supposons l'atmosphère isotherme, la pression suit une loi de décroissance exponentielle. C'est la conséquence directe du fait que l'air est un fluide compressible : il s'écrase sous son propre poids.

Mini-Cours

L'équation \(P(z) = P_0 \exp(-z/H)\) est la solution de l'équation hydrostatique pour T constant. Le terme \(z/H\) compte combien "d'échelles de hauteur" nous avons gravies.

Remarque Pédagogique

L'exponentielle décroît très vite. Pour chaque tranche de hauteur H, on divise la pression par 2.7. C'est beaucoup plus rapide qu'une décroissance linéaire (comme dans l'eau, qui est incompressible).

Normes

Cette formule est souvent appelée "formule barométrique".

Formule(s)

P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{z}{H}\right)

Hypothèses

On applique le modèle isotherme calculé précédemment.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Pression au sol (P0)	100 000 Pa
Altitude cible (z)	10 000 m
Échelle de hauteur (H)	4723.75 m

Astuces

Calculez d'abord le rapport \(z/H\) sans dimension. Cela vous donne un exposant simple à manipuler et permet de vérifier l'ordre de grandeur (ici z est environ 2 fois H).

Schéma (Avant les calculs)

Imaginez monter à 10km. H vaut 4.7km. On est donc à environ "deux étages" H au-dessus du sol.

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion et préparation

Assurons-nous d'abord que l'altitude cible \( z \) est exprimée dans la même unité que notre échelle de hauteur \( H \), c'est-à-dire en mètres.

\begin{aligned} z &= 10 \text{ km} \\ &= 10\,000 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du rapport sans dimension z/H

Calculons maintenant le rapport \( z/H \). Ce nombre sans dimension nous indique combien d'échelles de hauteur nous avons gravies.

\begin{aligned} \frac{z}{H} &= \frac{10\,000}{4\,723.75} \\ &\approx 2.11696... \\ &\approx 2.117 \end{aligned}

Nous sommes situés à environ 2,12 fois l'échelle de hauteur au-dessus du sol.

Étape 3 : Calcul du facteur d'atténuation (exponentielle)

Ce rapport est l'exposant négatif de notre fonction. Calculons le facteur d'atténuation de la pression \( e^{-z/H} \).

\begin{aligned} \exp(-2.117) &= e^{-2.117} \\ &\approx 0.12039... \end{aligned}

Le facteur est d'environ 0,12. Cela signifie que la pression à cette altitude ne représente plus que 12 % de la pression au niveau du sol.

Étape 4 : Pression finale

Enfin, multiplions la pression de surface \( P_0 \) par ce facteur pour obtenir la pression locale.

\begin{aligned} P(z) &= P_0 \times 0.1204 \\ &= 100\,000 \times 0.1204 \\ &\approx 12\,040 \text{ Pa} \end{aligned}

La pression absolue à 10 km d'altitude est donc d'environ 12 040 Pascals.

Schéma (Après les calculs)

Le graphique ci-dessous montre la courbe de pression. Notez comme elle plonge rapidement près du sol.

Profil de Pression P(z)

Réflexions

À 10 km d'altitude, la pression est tombée à 0.12 bar. Pour comparaison, sur Terre à 10 km (altitude de croisière des avions), la pression est d'environ 0.26 bar. L'atmosphère d'Exo-B se raréfie donc beaucoup plus vite que la nôtre.

Points de vigilance

Attention au signe négatif dans l'exponentielle ! L'altitude z est positive, donc -z/H est négatif. L'exponentielle doit donner un chiffre inférieur à 1.

Points à retenir

La pression suit une loi exponentielle décroissante.
Le facteur clé est le rapport z/H.

Le saviez-vous ?

C'est grâce à cette loi que les altimètres des avions fonctionnent : ils mesurent la pression extérieure et en déduisent l'altitude.

FAQ

Q : Pourquoi ça ne diminue pas linéairement ?
R : Parce que l'air est compressible. En bas, il est écrasé par tout ce qui est au-dessus, donc il est dense et la pression change vite. En haut, il est peu dense, donc la pression change lentement.

Résultat Final

\(P(10 \text{ km}) \approx 12\,040 \text{ Pa} \approx 0.12 \text{ bar}\)

A vous de jouer

Calculez la pression à 20 km d'altitude.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : \(P(z) = P_0 e^{-z/H}\).

Question 4 : Densité à \(z = 10 \text{ km}\)

Principe

La densité (ou masse volumique \(\rho\)) est liée à la pression et à la température par la loi des gaz parfaits. Si on connaît la pression locale et la température locale, on peut immédiatement en déduire la densité locale.

Mini-Cours

La loi des gaz parfaits s'écrit \(P = \rho R_{\text{spec}} T\). On peut l'inverser pour isoler la densité : \(\rho = P / (R_{\text{spec}} T)\). Dans une atmosphère isotherme, comme T est constant, la densité \(\rho\) est simplement proportionnelle à la pression \(P\). Elle décroît donc elle aussi exponentiellement.

Remarque Pédagogique

Attention à ne pas confondre cette densité (celle du gaz à une altitude z) avec la densité moyenne de la planète ou la densité d'un liquide.

Normes

L'unité SI pour la masse volumique est le \(kg/m^3\).

Formule(s)

\rho = \frac{P}{R_{\text{spec}} T}

Hypothèses

Gaz parfait, température locale égale à 250 K.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Pression à 10km (calculée en Q3)	12040 Pa
Température (T)	250 K
R_spec (calculé en Q1)	188.95 J/kg/K

Astuces

Ordre de grandeur : l'air sur Terre au niveau de la mer fait environ 1.2 kg/m³. À 10km sur Exo-B, avec une pression 10 fois plus faible, on s'attend à une densité d'environ 0.1 à 0.3 kg/m³.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisez un mètre cube d'air à 10km d'altitude : il contient beaucoup moins de molécules qu'au sol.

Calcul(s)

Identification des variables locales

Rassemblons les valeurs nécessaires pour l'application locale de la loi des gaz parfaits à l'altitude z = 10 km.

\begin{aligned} P &= 12\,040 \text{ Pa} \\ R_{\text{spec}} &= 188.95 \text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K}) \\ T &= 250 \text{ K} \end{aligned}

Étape 1 : Calcul du dénominateur

Calculons le dénominateur de l'équation d'état, qui dépend de la nature du gaz et de sa température.

\begin{aligned} R_{\text{spec}} \times T &= 188.95 \times 250 \\ &= 47\,237.5 \end{aligned}

Le produit \( R_{\text{spec}} T \) vaut toujours 47 237.5 dans notre modèle isotherme.

Étape 2 : Division finale

Il ne reste plus qu'à diviser la pression locale \( P(z) \) que nous venons de trouver par ce terme pour obtenir la masse volumique.

\begin{aligned} \rho &= \frac{P}{R_{\text{spec}} T} \\ &= \frac{12\,040}{47\,237.5} \\ &\approx 0.25488... \\ &\approx 0.255 \text{ kg/m}^3 \end{aligned}

La densité obtenue est de 0.255 kg/m³, ce qui est très faible comparé à l'air au niveau de la mer sur Terre (~1.225 kg/m³).

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma spécifique, c'est une application directe de formule.

Réflexions

La densité trouvée (0.255 kg/m³) est faible. Cela a des conséquences pratiques : pour faire voler un drone ou un hélicoptère à cette altitude sur Exo-B, les pales devraient tourner très vite car l'air est "fin" et offre peu de portance.

Points de vigilance

Utilisez bien la pression locale \(P(z)\) et non la pression au sol \(P_0\) !

Points à retenir

La densité suit la pression dans une atmosphère isotherme.
L'équation des gaz parfaits est valable localement (à toute altitude).

Le saviez-vous ?

L'atmosphère de Mars est si ténue au sol (densité ~0.02 kg/m³) que l'hélicoptère Ingenuity a dû avoir des pales tournant à 2400 tours/minute pour décoller, contre ~500 pour un hélico terrestre !

FAQ

Q : La densité serait-elle différente si T variait ?
R : Oui, absolument. Si la température baissait avec l'altitude (cas réaliste), la densité chuterait un peu moins vite que la pression, car le froid contracte le gaz.

Résultat Final

\(\rho(10 \text{ km}) \approx 0.255 \text{ kg/m}^3\)

A vous de jouer

Calculez la densité au sol (z=0).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Loi gaz parfaits locale \(\rho = P / (R_{\text{spec}} T)\).

Question 5 : Critique du modèle (Discussion)

Analyse Physique

Nous avons supposé une température constante \(T = 250 \text{ K}\). Or, dans une atmosphère réelle, la température varie fortement avec l'altitude. Dans la basse atmosphère (troposphère), l'air se refroidit en montant car il se détend (baisse de pression). C'est le "gradient adiabatique". Sur Terre, on perd environ 6.5°C par kilomètre.

Comparaison des Modèles

Modèle Isotherme (Simplifié)	Atmosphère Réelle (Troposphère)
\(T(z) = \text{constante}\)	\(T(z) = T_0 - L \cdot z\) (diminue avec z)
Pression : Loi Exponentielle	Pression : Loi de Puissance
L'atmosphère s'étend à l'infini (théoriquement)	L'atmosphère a une "limite" finie (sommet)

Réflexion

Notre modèle est une approximation de premier ordre. Il est excellent pour comprendre le principe de compétition entre gravité et pression, et donne le bon ordre de grandeur. Cependant, pour la météo précise ou l'aéronautique, il est trop simpliste : il faut tenir compte des variations de température.

Résultat de la réflexion

L'hypothèse isotherme est valide pour une estimation globale ou pour la stratosphère, mais inexacte pour la basse atmosphère où la convection impose un refroidissement avec l'altitude.

A vous de jouer

Vrai ou Faux : Dans une atmosphère réelle convective (troposphère), la température augmente avec l'altitude ?

Outil Interactif : Profil Atmosphérique

Modifiez les paramètres de la planète et du gaz pour voir comment le profil de pression évolue.

Paramètres Planétaires

Température T (K) 250 K

Gravité g (m/s²) 10 m/s²

Masse Molaire M (g/mol) 44 g/mol

Résultats Calculés

Échelle de hauteur H -

Pression à 10 km (% de P0) -

Pression à 20 km (% de P0) -

Glossaire

Échelle de hauteur (\(H\)): Distance verticale sur laquelle la pression atmosphérique diminue d'un facteur \(e\) (environ 2.718). Elle caractérise l'épaisseur de l'atmosphère.
Équilibre Hydrostatique: État où la force de pression vers le haut compense exactement le poids du fluide vers le bas.
Constante universelle des gaz (\(R\)): Constante physique fondamentale reliant l'énergie à la température pour une mole de particules. Valeur : \(8.314 \text{ J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\).
Atmosphère Isotherme: Modèle simplifié d'atmosphère où la température est considérée constante quelle que soit l'altitude.

Équilibre Hydrostatique d’une Atmosphère Planétaire

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude : La planète Exo-B

Fiche Technique

Modélisation de la colonne atmosphérique

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Équilibre Hydrostatique d'une Atmosphère Planétaire

Question 1 : Calcul de la constante spécifique \(R_{\text{spec}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : L'échelle de hauteur \(H\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Pression à \(z = 10 \text{ km}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Profil de Pression P(z)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Densité à \(z = 10 \text{ km}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)