La Résonance Orbitale de Laplace

Contexte : La Résonance OrbitalePhénomène où deux corps en orbite ont des périodes de révolution dont le rapport est une fraction simple (ex: 1:2, 2:3)..

Les lunes galiléennes de Jupiter (Io, Europe, Ganymède) présentent un cas d'école de résonance orbitale, appelée Résonance de Laplace. Leurs périodes orbitales sont dans un rapport précis de 1:2:4. Cet exercice vise à calculer ces périodes à partir de leurs distances à Jupiter en utilisant la troisième loi de Kepler, à vérifier ce rapport et à comprendre ses implications physiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la 3ème loi de Kepler pour calculer les périodes orbitales et à comprendre comment les interactions gravitationnelles maintiennent cette résonance, qui a des conséquences géologiques majeures.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la 3ème loi de Kepler pour trouver la période orbitale d'un satellite.
Calculer les rapports de période entre Io, Europe et Ganymède.
Vérifier la Résonance de Laplace (rapport 1:2:4).
Comprendre l'impact de la résonance sur l'activité géologique (ex: volcanisme d'Io).

Données de l'étude

Nous étudions les trois premières lunes galiléennes (Io, Europe, Ganymède) en orbite autour de Jupiter. Nous utiliserons les constantes physiques et les données orbitales suivantes.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Masse de Jupiter (\(M_{\text{J}}\))	\(1.898 \times 10^{27}\) kg
Constante gravitationnelle (\(G\))	\(6.674 \times 10^{-11}\) N·m²/kg²
Conversion Jours	1 jour = 86 400 secondes

Système Jovien Interne (Schématique)

Lune	Symbole	Demi-grand axe (\(a\))	Unité
Io	\(a_{\text{Io}}\)	421 700	km
Europe	\(a_{\text{Eu}}\)	671 034	km
Ganymède	\(a_{\text{Ga}}\)	1 070 412	km

Questions à traiter

Calculer la période orbitale (\(T\)) de Io en jours.
Calculer la période orbitale (\(T\)) d'Europe en jours.
Calculer la période orbitale (\(T\)) de Ganymède en jours.
Calculer le rapport des périodes : \(T_{\text{Europe}} / T_{\text{Io}}\).
Calculer le rapport des périodes : \(T_{\text{Ganymède}} / T_{\text{Europe}}\).
Que pouvez-vous conclure de ces rapports ? Le rapport 1:2:4 est-il vérifié ?

Les bases sur la 3ème Loi de Kepler

Pour calculer la période de révolution (\(T\)) d'un satellite autour d'un corps central beaucoup plus massif (comme Jupiter), on utilise la 3ème loi de Kepler. La masse du satellite est considérée comme négligeable devant celle de la planète.

1. 3ème Loi de Kepler (Formulation de Newton)
La loi relie la période orbitale (\(T\)), le demi-grand axe (\(a\)), la masse du corps central (\(M\)), et la constante gravitationnelle (\(G\)). \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} \cdot a^3 \]

2. Isoler la Période (\(T\))
Pour trouver la période, on prend la racine carrée de l'équation précédente : \[ T = \sqrt{\frac{4\pi^2 \cdot a^3}{G \cdot M}} = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}} \]

Correction : La Résonance Orbitale de Laplace

Question 1 : Calculer la période orbitale (\(T\)) de Io en jours.

Principe

Nous appliquons la 3ème loi de Kepler \(T = 2\pi \sqrt{a^3 / (G \cdot M)}\) en utilisant les données de Jupiter (\(M_{\text{J}}\)) et de Io (\(a_{\text{Io}}\)). L'étape la plus importante est d'assurer la cohérence des unités : nous devons tout convertir en unités du Système International (mètres, kilogrammes, secondes) avant de calculer.

Mini-Cours

La 3ème loi de Kepler est une loi fondamentale de la mécanique céleste. Elle décrit mathématiquement le lien entre la taille de l'orbite d'un objet (son demi-grand axe, \(a\)) et le temps qu'il met à faire une révolution complète (sa période, \(T\)). La version de Newton montre que cette relation dépend de la masse du corps central (\(M\)), ici Jupiter. Plus on est loin (\(a\) grand), plus la période (\(T\)) est longue.

Remarque Pédagogique

L'astuce pour ne jamais se tromper est de toujours lister ses unités avant de calculer. \(G\) est en \(\text{m}^3/\text{kg}\cdot\text{s}^2\). Cela vous *oblige* à convertir la masse en \(\text{kg}\) (déjà fait) et la distance en \(\text{m}\) (à faire !). Le résultat pour \(T\) sera alors obligatoirement en \(\text{s}\).

Normes

En physique et en planétologie, la "norme" est le Système International (SI) d'unités. Utiliser le SI (mètres, kilogrammes, secondes) garantit que les constantes comme \(G\) s'appliquent correctement et que le résultat est dans l'unité SI attendue (secondes pour le temps).

Formule(s)

Période Orbitale

T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Demi-grand axe Io	\(a_{\text{Io}}\)	421 700	km
Masse Jupiter	\(M_{\text{J}}\)	\(1.898 \times 10^{27}\)	kg
Constante Grav.	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\)	m³/kg·s²

Hypothèses

Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :

La masse des lunes (ex: Io) est négligeable par rapport à la masse de Jupiter (\(m_{\text{Io}} \ll M_{\text{J}}\)). C'est tout à fait vrai.
L'orbite est considérée comme circulaire (\(a\) est un rayon constant). En réalité, elle est légèrement excentrique, mais l'approximation circulaire est excellente pour ce calcul.

Astuces

Pour éviter de manipuler de très grands nombres, on peut calculer le "paramètre gravitationnel standard" de Jupiter, \(\mu = G \cdot M_{\text{J}}\), une bonne fois pour toutes. C'est ce que nous ferons dans le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Nous modélisons le problème comme une masse ponctuelle (Io) en orbite circulaire à un rayon \(a_{Io}\) autour d'une masse centrale \(M_J\).

Modélisation de l'orbite de Io

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le demi-grand axe de kilomètres (km) en mètres (m).
\(a = 421\,700 \text{ km} = 421\,700 \times 10^3 \text{ m} = 4.217 \times 10^8 \text{ m}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Convertir \(a_{Io}\) en mètres

Commençons par convertir le demi-grand axe de Io, donné en kilomètres, en mètres pour être compatible avec l'unité de \(G\).

\begin{aligned} a_{\text{Io}} &= 421\,700 \text{ km} \\ &= 4.217 \times 10^8 \text{ m} \end{aligned}

Nous avons maintenant le rayon en mètres, prêt pour le calcul principal.

Étape 2 : Calculer \(T_{\text{Io}}\) en secondes

On part de la formule de base et on substitue toutes les valeurs en unités SI (m, kg, s). On calcule d'abord le numérateur (\(a^3\)) et le dénominateur (\(G \cdot M\)) à l'intérieur de la racine.

\begin{aligned} T_{\text{Io}} &= 2\pi \sqrt{\frac{a_{\text{Io}}^3}{G \cdot M_{\text{J}}}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(4.217 \times 10^8 \text{ m})^3}{(6.674 \times 10^{-11} \text{ m}^3/\text{kg}\cdot\text{s}^2) \times (1.898 \times 10^{27} \text{ kg})}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{7.498 \times 10^{25} \text{ m}^3}{1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3/\text{s}^2}} \\ &= 2\pi \sqrt{5.918 \times 10^8 \text{ s}^2} \\ &\approx 2\pi \times (24327 \text{ s}) \\ &\approx 152\,853 \text{ s} \end{aligned}

Le résultat est la période orbitale de Io en secondes. C'est un grand nombre, il est donc plus pratique de le convertir en jours.

Étape 3 : Convertir \(T_{\text{Io}}\) en jours

Pour convertir les secondes en jours, nous divisons le résultat par le nombre de secondes dans une journée (86 400).

\begin{aligned} T_{\text{Io}} (\text{jours}) &= \frac{152\,853 \text{ s}}{86\,400 \text{ s/jour}} \\ &\approx 1.769 \text{ jours} \end{aligned}

On obtient donc la période orbitale finale de Io, qui est d'environ 1.77 jours.

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul ne produit pas un diagramme (comme en RDM), mais une valeur unique : la période. Le résultat est \(T_{\text{Io}} \approx 1.77 \text{ jours}\). On peut le visualiser comme le temps nécessaire pour un tour complet.

Réflexions

Une période de 1.77 jours est incroyablement rapide ! La Lune de la Terre met 27.3 jours pour faire une orbite. Cela est dû à la masse gigantesque de Jupiter (qui augmente l'attraction) et à la proximité de Io.

Points à retenir

La 3ème loi de Kepler lie \(T^2\) et \(a^3\).
La cohérence des unités (m, kg, s) est la clé du succès.
La période orbitale dépend de la masse centrale (\(M\)) et de la distance (\(a\)), pas de la masse du satellite (\(m\)).

Le saviez-vous ?

Io se déplace sur son orbite à une vitesse moyenne d'environ 17.3 km/s (plus de 62 000 km/h) ! C'est l'une des lunes les plus rapides du système solaire.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

La période orbitale de Io est d'environ 1.77 jours.

A vous de jouer

Recalculez la période (en jours) si Io orbitait à \(500\,000 \text{ km}\) de Jupiter.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Calcul de période orbitale via 3e loi de Kepler.
Formule Essentielle : \(T = 2\pi \sqrt{a^3 / (G \cdot M)}\).
Point de Vigilance Majeur : Conversion des \(\text{km}\) en \(\text{m}\).

Question 2 : Calculer la période orbitale (\(T\)) d'Europe en jours.

Principe

Nous répétons exactement le même calcul que pour la Q1, mais en utilisant cette fois le demi-grand axe d'Europe (\(a_{\text{Eu}}\)). La méthode et les constantes (\(G\), \(M_{\text{J}}\)) restent identiques.

Mini-Cours

La 3ème loi de Kepler est universelle. La même équation s'applique à n'importe quel satellite (lune, station spatiale) en orbite autour du même corps central (Jupiter). La seule variable qui change est la distance (\(a\)), ce qui affecte directement la période (\(T\)).

Remarque Pédagogique

Puisque \(a_{\text{Eu}} > a_{\text{Io}}\) (Europe est plus loin que Io), nous nous attendons logiquement à trouver une période \(T_{\text{Eu}} > T_{\text{Io}}\). C'est un bon moyen de vérifier rapidement la cohérence de notre résultat. Si vous trouviez une période plus courte, vous auriez fait une erreur de calcul.

Normes

Le Système International (SI) reste notre standard de calcul. Toutes les nouvelles données (comme \(a_{\text{Eu}}\)) doivent être converties en mètres.

Formule(s)

La formule est identique à la Q1.

T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la Q1 :

Masse d'Europe négligeable devant celle de Jupiter (\(m_{\text{Eu}} \ll M_{\text{J}}\)).
Orbite quasi-circulaire.

Donnée(s)

La seule donnée qui change est le demi-grand axe.

Demi-grand axe Europe

\(a_{\text{Eu}}\)

671 034

Astuces

Puisque \(a_{\text{Eu}} > a_{\text{Io}}\), on s'attend à \(T_{\text{Eu}} > T_{\text{Io}}\). C'est une vérification rapide. Inutile de recalculer \(G \cdot M_{\text{J}}\), on peut réutiliser la valeur \(1.267 \times 10^{17}\) de la Q1.

Schéma (Avant les calculs)

La modélisation est identique à la Q1, mais avec un rayon \(a_{\text{Eu}}\) plus grand.

Modélisation de l'orbite d'Europe

Points de vigilance

De nouveau, ne pas oublier la conversion :
\(a_{\text{Eu}} = 671\,034 \text{ km} = 6.71034 \times 10^8 \text{ m}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Convertir \(a_{\text{Eu}}\) en mètres

Comme pour Io, nous convertissons le demi-grand axe d'Europe en mètres.

\begin{aligned} a_{\text{Eu}} &= 671\,034 \text{ km} \\ &= 6.71034 \times 10^8 \text{ m} \end{aligned}

La distance est maintenant en unités SI.

Étape 2 : Calculer \(T_{\text{Eu}}\) en secondes

On utilise la même méthode que pour Io, en substituant la nouvelle valeur de \(a_{\text{Eu}}\).

\begin{aligned} T_{\text{Eu}} &= 2\pi \sqrt{\frac{a_{\text{Eu}}^3}{G \cdot M_{\text{J}}}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(6.71034 \times 10^8 \text{ m})^3}{(6.674 \times 10^{-11}) \times (1.898 \times 10^{27})}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{3.021 \times 10^{26} \text{ m}^3}{1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3/\text{s}^2}} \\ &= 2\pi \sqrt{2.384 \times 10^9 \text{ s}^2} \\ &\approx 2\pi \times (48829 \text{ s}) \\ &\approx 306\,800 \text{ s} \end{aligned}

On obtient la période d'Europe en secondes. Comme attendu, ce nombre est plus grand que celui de Io, car Europe est plus loin.

Étape 3 : Convertir \(T_{\text{Eu}}\) en jours

Finalement, nous convertissons cette durée en jours en divisant par 86 400.

\begin{aligned} T_{\text{Eu}} (\text{jours}) &= \frac{306\,800 \text{ s}}{86\,400 \text{ s/jour}} \\ &\approx 3.551 \text{ jours} \end{aligned}

La période d'Europe est donc d'environ 3.55 jours.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la valeur \(T_{\text{Eu}} \approx 3.55 \text{ jours}\). On le visualise comme le temps nécessaire à Europe pour faire un tour complet.

Réflexions

Comme attendu, Europe étant plus loin que Io, sa période orbitale (3.55 jours) est plus longue que celle de Io (1.77 jours). C'est une conséquence directe de la 3ème loi de Kepler.

Points à retenir

La méthode de calcul est reproductible pour n'importe quel satellite.
Le paramètre gravitationnel \(\mu = G \cdot M\) simplifie les calculs répétitifs.

Le saviez-vous ?

Europe est l'un des candidats les plus sérieux pour abriter la vie extraterrestre dans notre système solaire. On pense qu'elle cache un immense océan d'eau liquide sous sa croûte de glace, maintenu liquide par les mêmes forces de marée (chauffage interne) que celles qui secouent Io.

FAQ

Pas de nouvelles FAQ pour cette étape, la méthode est identique à la Q1.

Résultat Final

La période orbitale d'Europe est d'environ 3.55 jours.

A vous de jouer

Pour vérifier, quelle serait la période (en jours) de la lune Amalthea, qui orbite à \(181\,400 \text{ km}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Application répétée de la 3e loi de Kepler.
Formule Essentielle : \(T = 2\pi \sqrt{a^3 / \mu}\) (avec \(\mu = G \cdot M\)).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la bonne valeur de \(a\) (celle d'Europe).

Question 3 : Calculer la période orbitale (\(T\)) de Ganymède en jours.

Principe

Nous répétons à nouveau le calcul de la Q1, en utilisant cette fois le demi-grand axe de Ganymède (\(a_{Ga}\)). C'est la dernière étape de calcul de période avant l'analyse des rapports.

Mini-Cours

Ganymède est la plus grande lune du système solaire (plus grande que la planète Mercure !). Sa masse est plus élevée que celle de Io ou Europe, mais elle reste totalement négligeable ( \(\sim 1.5 \times 10^{23}\) kg) par rapport à Jupiter (\( \sim 1.9 \times 10^{27}\) kg). Nos hypothèses de calcul restent donc valides.

Remarque Pédagogique

Ganymède est plus loin qu'Europe (\(a_{\text{Ga}} > a_{\text{Eu}}\)), donc nous nous attendons à trouver une période \(T_{\text{Ga}} > T_{\text{Eu}}\). Nous avons maintenant les trois valeurs nécessaires pour étudier la résonance.

Normes

Le Système International (SI) reste notre standard de calcul.

Formule(s)

La formule est identique à la Q1.

T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la Q1 :

Masse de Ganymède négligeable (\(m_{\text{Ga}} \ll M_{\text{J}}\)).
Orbite quasi-circulaire.

Donnée(s)

La seule donnée qui change est le demi-grand axe.

Demi-grand axe Ganymède

\(a_{\text{Ga}}\)

1 070 412

Astuces

Réutilisez la valeur de \(\mu \approx 1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3/\text{s}^2\) calculée à la Q1.

Schéma (Avant les calculs)

La modélisation est identique, mais avec un rayon \(a_{\text{Ga}}\) encore plus grand.

Modélisation de l'orbite de Ganymède

Points de vigilance

Encore une fois, la conversion est essentielle :
\(a_{\text{Ga}} = 1\,070\,412 \text{ km} = 1.070412 \times 10^9 \text{ m}\).

Calcul(s)

Étape 1 : Convertir \(a_{\text{Ga}}\) en mètres

Dernière conversion, nous passons le demi-grand axe de Ganymède en mètres.

\begin{aligned} a_{\text{Ga}} &= 1\,070\,412 \text{ km} \\ &= 1.070412 \times 10^9 \text{ m} \end{aligned}

Nous avons notre plus grande distance, prête pour le calcul.

Étape 2 : Calculer \(T_{\text{Ga}}\) en secondes

On utilise la même méthode, en substituant la valeur de \(a_{\text{Ga}}\).

\begin{aligned} T_{\text{Ga}} &= 2\pi \sqrt{\frac{a_{\text{Ga}}^3}{G \cdot M_{\text{J}}}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{(1.070412 \times 10^9 \text{ m})^3}{(6.674 \times 10^{-11}) \times (1.898 \times 10^{27})}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{1.226 \times 10^{27} \text{ m}^3}{1.267 \times 10^{17} \text{ m}^3/\text{s}^2}} \\ &= 2\pi \sqrt{9.676 \times 10^9 \text{ s}^2} \\ &\approx 2\pi \times (98368 \text{ s}) \\ &\approx 618\,066 \text{ s} \end{aligned}

On obtient la période de Ganymède en secondes, le nombre le plus grand des trois.

Étape 3 : Convertir \(T_{\text{Ga}}\) en jours

Et on convertit cette longue durée en jours.

\begin{aligned} T_{\text{Ga}} (\text{jours}) &= \frac{618\,066 \text{ s}}{86\,400 \text{ s/jour}} \\ &\approx 7.154 \text{ jours} \end{aligned}

La période de Ganymède est d'environ 7.15 jours.

Réflexions

Ganymède, étant la plus éloignée des trois, a logiquement la période la plus longue (7.15 jours). Nous avons maintenant les trois valeurs nécessaires pour étudier la résonance.

Points à retenir

La 3e loi de Kepler montre que la période augmente rapidement avec la distance ( \(T \propto a^{1.5}\) ).

FAQ

Pas de nouvelles FAQ pour cette étape, la méthode est identique à la Q1.

Résultat Final

La période orbitale de Ganymède est d'environ 7.15 jours.

A vous de jouer

Si la période de Ganymède était de 8 jours, quel serait son demi-grand axe (en km) ? (Indice : Isolez \(a\) dans la formule ! \(a = \sqrt[3]{T^2 \mu / (4\pi^2)}\) )

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Application finale de la 3e loi de Kepler.
Formule Essentielle : \(T = 2\pi \sqrt{a^3 / \mu}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la bonne valeur de \(a\) (celle de Ganymède).

Question 4 : Calculer le rapport des périodes : \(T_{\text{Europe}} / T_{\text{Io}}\).

Principe

Nous divisons la période d'Europe (calculée à la Q2) par la période de Io (calculée à la Q1) pour trouver leur rapport. Ce simple calcul de ratio va révéler la première étape de la résonance.

Mini-Cours

Une "résonance" en mécanique céleste se produit lorsque deux périodes orbitales forment un rapport de petits entiers (comme 1:2, 2:3, 3:5, etc.). Lorsque cela se produit, les perturbations gravitationnelles que les corps exercent l'un sur l'autre ne sont pas moyennées sur l'orbite, mais s'accumulent. Elles se produisent aux mêmes points, encore et encore, ce qui peut "verrouiller" les orbites ou les déstabiliser.

Remarque Pédagogique

C'est la première fois que nous comparons deux résultats. L'objectif n'est pas d'avoir un chiffre exact, mais de voir à quel point ce chiffre est proche d'un entier simple (comme 2, 3...) ou d'une fraction simple (comme 3/2 = 1.5).

Formule(s)

\text{Rapport} = \frac{T_{\text{Europe}}}{T_{\text{Io}}}

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des Q1 et Q2.

\(T_{\text{Io}} \approx 1.769 \text{ jours}\)
\(T_{\text{Europe}} \approx 3.551 \text{ jours}\)

Astuces

Puisque nous faisons un ratio, les unités n'ont pas d'importance tant qu'elles sont identiques ! Nous pouvons diviser les jours par les jours, ou les secondes par les secondes. Le résultat sera le même (un nombre sans dimension).

Calcul(s)

Maintenant, nous prenons les périodes en jours que nous venons de calculer (Q2 et Q1) et nous les divisons pour trouver leur rapport.

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{T_{\text{Europe}}}{T_{\text{Io}}} \\ &= \frac{3.551 \text{ jours}}{1.769 \text{ jours}} \\ &\approx 2.007 \end{aligned}

Le résultat (2.007) est incroyablement proche de 2, confirmant la première partie de la résonance.

Réflexions

Le rapport est de 2.007, ce qui est extrêmement proche de 2. Cela indique que pour chaque orbite complète d'Europe, Io effectue presque exactement deux orbites.

Points à retenir

Un rapport de période aussi proche d'un entier simple (2) n'est pas un hasard. C'est la signature d'une résonance orbitale. Les petites interactions gravitationnelles, répétées au même endroit de l'orbite, ont "verrouillé" les lunes dans ce rapport.

Le saviez-vous ?

Cette résonance 2:1 est la raison pour laquelle Io est si active. À chaque fois qu'Europe fait 1 tour, Io en fait 2. Elles se retrouvent "alignées" du même côté de Jupiter très régulièrement, et l'attraction d'Europe "tire" Io sur une orbite non-circulaire (excentrique), ce qui alimente le chauffage par marée.

FAQ

Pas de FAQ pour ce calcul simple.

Résultat Final

Le rapport \(T_{\text{Europe}} / T_{\text{Io}}\) est d'environ 2.0.

A vous de jouer

Si \(T_{\text{Io}}\) était de 3 jours, quelle devrait être \(T_{\text{Europe}}\) pour maintenir une résonance 2:1 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Définition d'une résonance (rapport de périodes).
Calcul : \(T_{\text{Eu}} / T_{\text{Io}} \approx 2\).
Conclusion : Io et Europe sont en résonance 2:1.

Question 5 : Calculer le rapport des périodes : \(T_{\text{Ganymède}} / T_{\text{Europe}}\).

Principe

Nous divisons la période de Ganymède (calculée à la Q3) par la période d'Europe (calculée à la Q2). Cela va révéler la deuxième étape de la chaîne de résonance.

Mini-Cours

Une résonance peut impliquer plus de deux corps. Ici, nous vérifions si Europe, déjà en résonance avec Io, l'est aussi avec Ganymède. Si c'est le cas, les trois corps sont liés dans une "chaîne" de résonance, ce qui est le cas de la Résonance de Laplace.

Remarque Pédagogique

Nous nous attendons à nouveau à trouver un rapport proche d'un entier simple. Si c'est le cas, cela confirme que le système n'est pas aléatoire mais structurellement lié.

Formule(s)

\text{Rapport} = \frac{T_{\text{Ganymède}}}{T_{\text{Europe}}}

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats finaux des Q2 et Q3.

\(T_{\text{Europe}} \approx 3.551 \text{ jours}\)
\(T_{\text{Ganymède}} \approx 7.154 \text{ jours}\)

Calcul(s)

Nous faisons la même chose pour Ganymède (Q3) et Europe (Q2).

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{T_{\text{Ganymède}}}{T_{\text{Europe}}} \\ &= \frac{7.154 \text{ jours}}{3.551 \text{ jours}} \\ &\approx 2.015 \end{aligned}

Encore une fois, le résultat (2.015) est très proche de 2, confirmant la deuxième partie de la chaîne de résonance.

Réflexions

Le rapport est de 2.015, ce qui est également très proche de 2. Cela indique que pour chaque orbite complète de Ganymède, Europe effectue presque exactement deux orbites.

Points à retenir

Cette deuxième résonance 2:1 (Ganymède:Europe) complète la chaîne. La résonance Io-Europe et la résonance Europe-Ganymède sont liées.

FAQ

Pas de FAQ pour ce calcul simple.

Résultat Final

Le rapport \(T_{\text{Ganymède}} / T_{\text{Europe}}\) est d'environ 2.0.

A vous de jouer

Si \(T_{\text{Europe}}\) était de 5 jours, quelle devrait être \(T_{\text{Ganymède}}\) pour maintenir une résonance 2:1 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Identification de la deuxième partie de la chaîne de résonance.
Calcul : \(T_{\text{Ga}} / T_{\text{Eu}} \approx 2\).
Conclusion : Europe et Ganymède sont en résonance 2:1.

Question 6 : Que pouvez-vous conclure de ces rapports ? Le rapport 1:2:4 est-il vérifié ?

Principe

Nous combinons les rapports précédents pour vérifier la résonance de Laplace, qui stipule un rapport de périodes de 1 (Io) : 2 (Europe) : 4 (Ganymède).

Mini-Cours

La résonance de Laplace est une configuration dynamique stable où trois corps ou plus maintiennent un rapport de période simple. La relation formelle est \(n_1 - 3n_2 + 2n_3 = 0\), où \(n = 2\pi/T\) est le "moyen mouvement" (vitesse angulaire moyenne). Pour nos lunes (1=Io, 2=Europe, 3=Ganymède), avec \(T_2 \approx 2T_1\) et \(T_3 \approx 2T_2\), on a \(n_1 \approx 2n_2\) et \(n_2 \approx 2n_3\), donc \(n_1 \approx 4n_3\). La relation devient \(4n_3 - 3(2n_3) + 2n_3 = 4n_3 - 6n_3 + 2n_3 = 0\). La résonance est vérifiée.

Remarque Pédagogique

Les petits écarts (2.007 et 2.015 au lieu de 2.000) sont réels et importants. Ils sont la "signature" que la résonance n'est pas juste une coïncidence statique, mais un processus dynamique actif qui force les orbites à l'être.

Réflexions

Nous avons trouvé :
1. \(T_{\text{Europe}} \approx 2 \times T_{\text{Io}}\)
2. \(T_{\text{Ganymède}} \approx 2 \times T_{\text{Europe}}\)

Si nous combinons ces deux résultats, nous pouvons exprimer la période de Ganymède en fonction de celle de Io :
\(T_{\text{Ganymède}} \approx 2 \times (T_{\text{Europe}}) \approx 2 \times (2 \times T_{\text{Io}}) = 4 \times T_{\text{Io}}\)

Par conséquent, les périodes des trois lunes sont approximativement dans le rapport :

T_{\text{Io}} : T_{\text{Europe}} : T_{\text{Ganymède}} \approx T_{\text{Io}} : 2 \times T_{\text{Io}} : 4 \times T_{\text{Io}}

En simplifiant par \(T_{\text{Io}}\), nous obtenons bien le rapport 1:2:4. Nos calculs confirment la Résonance de Laplace.

Points à retenir

La résonance de Laplace est une chaîne de résonances : (Io:Europe 1:2) et (Europe:Ganymède 1:2).
L'effet combiné est une résonance 1:2:4 pour (Io:Europe:Ganymède).
Cette configuration est stable à long terme et a des conséquences physiques profondes sur les lunes.

Le saviez-vous ?

Cette résonance n'est pas une coïncidence. Elle est activement maintenue par les interactions gravitationnelles mutuelles des lunes. Elle force Io à conserver une orbite légèrement excentrique. Cette excentricité, combinée à la gravité immense de Jupiter, soumet Io à d'intenses forces de maréeDifférence de force gravitationnelle exercée par un corps sur les différentes parties d'un autre corps, provoquant sa déformation. qui étirent et compressent la lune. Cette friction interne génère une chaleur colossale, faisant de Io le corps le plus volcanique du système solaire.

FAQ

Questions sur la résonance.

Résultat Final

Les calculs confirment la Résonance de Laplace (1:2:4) entre Io, Europe et Ganymède, une configuration qui cause le volcanisme intense de Io.

A vous de jouer

La période de Callisto est de 16.69 jours. Calculez le rapport \(T_{\text{Callisto}} / T_{\text{Ganymède}}\). Est-il proche d'un entier simple ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 6 :

Concept Clé : La Résonance de Laplace est une chaîne 1:2:4.
Conséquence : Chauffage par marée, causant le volcanisme de Io et l'océan subglaciaire d'Europe.
Exclusion : Callisto n'est pas en résonance.

Outil Interactif : Calculateur de Période Képlérienne

Utilisez cet outil pour voir comment la période orbitale (\(T\)) change en fonction du demi-grand axe (\(a\)) et de la masse de la planète centrale (\(M\)). Le graphique montre la relation \(T^2 \propto a^3\).

Paramètres d'Entrée

Demi-grand axe (\(a\)) (millions km) 0.42 Mkm

Masse Planète (en Masses de Jupiter) 1.0 Mj

Résultats Clés

Période Orbitale (\(T\)) - jours

Constante Grav. (\(G \cdot M\)) - m³/s²

Glossaire

Résonance Orbitale: Phénomène où deux (ou plus) corps en orbite ont des périodes de révolution dont le rapport est une fraction simple (ex: 1:2, 2:3). Cela conduit à des interactions gravitationnelles régulières et amplifiées.
3ème Loi de Kepler: Loi qui énonce que le carré de la période orbitale (\(T^2\)) est proportionnel au cube du demi-grand axe (\(a^3\)) de l'orbite.
Demi-grand axe (\(a\)): La moitié du plus grand diamètre d'une orbite elliptique. Pour une orbite quasi-circulaire comme celle des lunes, il est assimilable au rayon moyen de l'orbite.
Forces de Marée: Différence de force gravitationnelle exercée par un corps (ex: Jupiter) sur les différentes parties d'un autre corps (ex: Io). Si l'orbite est excentrique, ces forces varient et provoquent une friction interne, générant de la chaleur.