Points de Lagrange et Stabilité

Contexte : Les points de LagrangePoints dans l'espace où les champs de gravité de deux grands corps se combinent pour fournir un point d'équilibre pour un troisième objet de masse négligeable..

Cet exercice explore le 'problème restreint des trois corps', un cas fondamental en mécanique céleste. Nous étudierons comment les interactions gravitationnelles entre le Soleil (corps \(M_1\)) et Jupiter (corps \(M_2\)) créent cinq 'points d'équilibre' (L1 à L5). Comprendre ces points est crucial, car ils servent de 'parkings' gravitationnels. Les points \(L_4\) et \(L_5\) sont particulièrement célèbres pour héberger les astéroïdes TroyensGroupe d'astéroïdes qui partagent l'orbite d'une planète, piégés aux points de Lagrange L4 ou L5.. Nous calculerons leurs positions et, plus important encore, nous déterminerons leur stabilité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les positions approximatives des points de Lagrange et à appliquer le critère de Routh pour évaluer la stabilité d'un système à trois corps, une compétence clé en planétologie et pour la conception de missions spatiales (ex: Télescope James Webb au point L2 Terre-Soleil).

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer le paramètre de masse (\(\mu\))Rapport adimensionnel \(\mu = M_2 / (M_1 + M_2)\), qui régit la dynamique du système à trois corps. d'un système.
Calculer les positions approximatives des points colinéaires \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\).
Comprendre la géométrie des points triangulaires \(L_4\) et \(L_5\).
Appliquer le critère de Routh pour déterminer la stabilitéCapacité d'un système à revenir à son point d'équilibre après une petite perturbation. de \(L_4\) et \(L_5\).
Expliquer l'existence des astéroïdes Troyens dans le système Soleil-Jupiter.

Données de l'étude

L'étude se concentre sur le système Soleil-Jupiter, le plus influent de notre système solaire pour les astéroïdes. Nous considérerons ce système comme isolé.

Propriétés du Système

Caractéristique	Symbole	Valeur
Corps Principal	Soleil (\(M_1\))	Masse approx. \(1.989 \times 10^{30}\) kg
Corps Secondaire	Jupiter (\(M_2\))	Masse approx. \(1.898 \times 10^{27}\) kg
Distance moyenne	\(a\)	\(5.203\) UA

Schéma des 5 Points de Lagrange (Système M1-M2)

Constante	Symbole	Valeur	Unité
Constante gravitationnelle	\(G\)	\(6.674 \times 10^{-11}\)	N·m²/kg²
Masse du Soleil	\(M_1\)	\(1.989 \times 10^{30}\)	kg
Masse de Jupiter	\(M_2\)	\(1.898 \times 10^{27}\)	kg
Unité Astronomique	UA	\(1.496 \times 10^{11}\)	m

Questions à traiter

Calculer le paramètre de masse \(\mu\) pour le système Soleil-Jupiter.
En utilisant l'approximation \(r \approx a \left(\frac{\mu}{3}\right)^{1/3}\), estimez la distance (en UA) des points \(L_1\) et \(L_2\) par rapport à Jupiter (\(M_2\)).
Expliquez qualitativement pourquoi \(L_4\) et \(L_5\) sont appelés les points "triangulaires".
Calculez la valeur du critère de Routh : \(C = 27\mu(1-\mu)\).
En comparant \(C\) à 1, concluez : le système Soleil-Jupiter est-il stable à \(L_4\) et \(L_5\) ? Qu'est-ce que cela implique pour les astéroïdes troyens ?

Les bases sur les Points de Lagrange

Les points de Lagrange sont des solutions au "problème restreint des trois corps", où deux corps massifs (\(M_1\) et \(M_2\)) orbitent autour de leur centre de masse commun, et un troisième corps de masse négligeable (\(m\)) est influencé par leur gravité.

1. Le Paramètre de Masse (\(\mu\))
Toute la dynamique du système ne dépend que d'un seul nombre : le paramètre de masse \(\mu\). Il est défini comme le rapport de la masse secondaire à la masse totale du système. \[ \mu = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \] Par définition, \(\mu\) est toujours compris entre 0 et 0.5.

2. Les 5 Points d'Équilibre
Il existe 5 points où les forces gravitationnelles et la force centrifuge (dans le référentiel tournant) s'équilibrent, permettant à l'objet \(m\) de rester immobile par rapport à \(M_1\) et \(M_2\).

\(L_1, L_2, L_3\) : Alignés avec \(M_1\) et \(M_2\). Ils sont fondamentalement instables.
\(L_4, L_5\) : Forment deux triangles équilatéraux avec \(M_1\) et \(M_2\).

3. Critère de Stabilité de Routh
Les points \(L_4\) et \(L_5\) peuvent être stables si la masse secondaire est suffisamment petite par rapport à la masse primaire. La condition de stabilité est que le paramètre de masse \(\mu\) doit être inférieur à \(\mu_{\text{critique}} \approx 0.03852\). Une façon courante de tester cela est le critère de Routh : \[ 27\mu(1-\mu) < 1 \] Si cette condition est remplie, les points \(L_4\) et \(L_5\) sont stables.

Correction : Points de Lagrange et Stabilité

Question 1 : Calculer le paramètre de masse \(\mu\)

Principe

La première étape consiste à déterminer le paramètre de masse \(\mu\). C'est ce rapport, et non les masses absolues, qui dicte la géométrie et la stabilité du système. Nous utilisons les masses du Soleil (\(M_1\)) et de Jupiter (\(M_2\)) fournies.

Mini-Cours

En mécanique céleste, le "problème restreint des trois corps" est décrit par un ensemble complexe d'équations. La découverte clé de Lagrange et Poincaré est que la dynamique entière du système (positions, stabilité des points d'équilibre) ne dépend pas des masses individuelles, de la distance ou de la constante G, mais d'un seul paramètre adimensionnel : \(\mu\). Ce paramètre capture l'essence de la "répartition" des masses dans le système.

Remarque Pédagogique

Voyez \(\mu\) comme un "pourcentage de masse". Si \(\mu\) est proche de 0, cela signifie que \(M_1\) domine totalement (ex: Soleil-Terre). Si \(\mu\) était 0.5, les deux corps auraient une masse identique (ex: un système d'étoiles binaires égales). Le \(\mu\) du système Soleil-Jupiter (\(\approx 0.001\)) nous dit que le Soleil "pèse" environ 1000 fois plus que Jupiter.

Normes

Le paramètre \(\mu = M_2 / (M_1 + M_2)\) est la définition standard (avec \(M_2 \le M_1\)) utilisée dans toute la littérature sur le problème restreint des trois corps (RTBP, ou PR3C en français).

Formule(s)

Paramètre de masse

\mu = \frac{M_2}{M_1 + M_2}

Hypothèses

Le calcul de \(\mu\) en lui-même est une définition. Cependant, son *utilisation* dans cet exercice suppose que nous sommes dans le cadre du problème restreint des trois corps :

Le système est composé de trois corps (Soleil, Jupiter, Astéroïde).
La masse de l'astéroïde (\(m\)) est négligeable par rapport à \(M_1\) et \(M_2\).
Le Soleil (\(M_1\)) et Jupiter (\(M_2\)) ont des orbites circulaires autour de leur centre de masse commun.

Donnée(s)

Nous extrayons les masses du tableau de données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du Soleil	\(M_1\)	\(1.989 \times 10^{30}\)	kg
Masse de Jupiter	\(M_2\)	\(1.898 \times 10^{27}\)	kg

Astuces

Puisque \(M_1 \gg M_2\), la somme \(M_1 + M_2\) sera très proche de \(M_1\). On peut donc s'attendre à ce que \(\mu \approx M_2 / M_1\). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur. \((1.9 \times 10^{27}) / (1.9 \times 10^{30}) \approx 10^{-3}\) ou 0.001.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de \(\mu\) consiste à trouver la proportion de la masse \(M_2\) (en orange) par rapport à la masse totale (la somme des deux blocs).

Proportion des Masses

Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul en deux étapes : d'abord la masse totale \(M_1+M_2\), puis le rapport \(\mu\).

Étape 1 : Calcul de la masse totale

On substitue \(M_1 = 1.989 \times 10^{30}\) kg et \(M_2 = 1.898 \times 10^{27}\) kg. Pour les additionner, on met les deux termes à la même puissance (par exemple \(10^{27}\)) :

\begin{aligned} M_{\text{totale}} &= M_1 + M_2 \\ &= (1.989 \times 10^{30}) + (1.898 \times 10^{27}) \\ &= (1989 \times 10^{27}) + (1.898 \times 10^{27}) \\ &= (1989 + 1.898) \times 10^{27} \\ &= 1990.898 \times 10^{27} \text{ kg} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\mu\)

On utilise la formule \(\mu = M_2 / M_{\text{totale}}\). Les termes \(10^{27}\) s'annulent :

\begin{aligned} \mu &= \frac{M_2}{M_{\text{totale}}} \\ &= \frac{1.898 \times 10^{27} \text{ kg}}{1990.898 \times 10^{27} \text{ kg}} \\ &= \frac{1.898}{1990.898} \\ &= 0.00095333... \\ \Rightarrow \mu &\approx 0.000954 \text{ (adimensionnel)} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat confirme que la masse de Jupiter est infime (environ 0.0954%) par rapport à la masse totale du système.

Résultat Visuel (μ ≈ 0.000954)

Réflexions

Le résultat \(\mu \approx 0.000954\) (ou \(9.54 \times 10^{-4}\)) est très petit, ce qui confirme que Jupiter, bien qu'étant la plus grosse planète, est environ 1000 fois moins massive que le Soleil. Ce résultat est conforme à notre estimation rapide.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'inverser \(M_1\) et \(M_2\) (calculer \((1-\mu)\) au lieu de \(\mu\)) ou d'oublier \(M_1\) au dénominateur (calculer \(\mu \approx M_2/M_1\)). Bien que l'approximation \(\mu \approx M_2/M_1\) soit numériquement proche pour ce système, la formule correcte \(M_2 / (M_1 + M_2)\) est essentielle, surtout pour des systèmes où les masses sont plus proches (comme Terre-Lune).

Points à retenir

Si vous ne devez retenir qu'une chose, c'est la formule de définition du paramètre de masse. C'est le point de départ de toute l'analyse de stabilité.

Concept Clé : Paramètre de masse \(\mu\).
Formule Essentielle : \(\mu = M_2 / (M_1 + M_2)\).

Le saviez-vous ?

Le \(\mu\) du système Terre-Lune est \(\approx 0.01215\). C'est 12 fois plus grand que celui du système Soleil-Jupiter ! Cela signifie que la Lune a une influence gravitationnelle "proportionnellement" beaucoup plus grande sur la Terre que Jupiter n'en a sur le Soleil.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le paramètre de masse \(\mu\) pour le système Soleil-Jupiter est d'environ 0.000954.

A vous de jouer

Maintenant, calculez \(\mu\) pour le système Terre-Lune, qui est un système "proche" (rapport de masse plus élevé).
Données : \(M_{\text{Terre}} = 5.972 \times 10^{24}\) kg, \(M_{\text{Lune}} = 7.342 \times 10^{22}\) kg.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Paramètre de masse \(\mu\).
Formule Essentielle : \(\mu = M_2 / (M_1 + M_2)\).
Résultat : \(\mu_{\text{Sol-Jup}} \approx 0.000954\).

Question 2 : Estimez les positions de \(L_1\) et \(L_2\)

Principe

Les points \(L_1\) (entre \(M_1\) et \(M_2\)) et \(L_2\) (au-delà de \(M_2\)) sont situés symétriquement par rapport à \(M_2\) (Jupiter) lorsque \(\mu\) est très petit. Nous utilisons une formule d'approximation courante pour trouver leur distance \(r\) par rapport à \(M_2\).

Mini-Cours

Les positions exactes de \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\) sont les racines d'un polynôme complexe du 5ème degré. Cependant, pour les systèmes où \(\mu\) est très petit (comme Soleil-Jupiter ou Terre-Soleil), la gravité du corps \(M_1\) domine. On peut alors grandement simplifier le problème. Les formules d'approximation, comme celle utilisée ici, sont dérivées de cette simplification et sont très précises pour des cas pratiques.

Remarque Pédagogique

Cette approximation \( ( \mu/3 )^{1/3} \) est très utile. Elle montre que la "sphère d'influence" gravitationnelle d'un petit corps (comme Jupiter par rapport au Soleil) est proportionnelle à la racine cubique de leur rapport de masse. C'est une relation qu'on retrouve souvent en mécanique céleste.

Normes

Il n'y a pas de "norme" au sens ingénierie, mais ce calcul est une solution standard au problème restreint des trois corps (RTBP or R3BP) dans le cas \(\mu \ll 1\).

Formule(s)

Approximation de la distance de \(L_1\) / \(L_2\) à \(M_2\)

r \approx a \left( \frac{\mu}{3} \right)^{1/3}

Hypothèses

Pour que cette approximation soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :

Le paramètre de masse est très petit : \(\mu \ll 1\).
Les orbites des corps \(M_1\) et \(M_2\) sont circulaires.
La masse \(m\) au point de Lagrange est négligeable (\(m \ll M_2\) et \(m \ll M_1\)).

Donnée(s)

Nous utilisons \(\mu\) de la Q1 et la distance \(a\) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur
Paramètre de masse	\(\mu\)	\(\approx 0.000954\)
Distance Soleil-Jupiter	\(a\)	\(5.203 \text{ UA}\)

Astuces

Pour calculer \((0.000318)^{1/3}\) sans calculatrice scientifique, vous pouvez penser : "quel nombre au cube donne \(\approx 0.0003\)" ? On sait que \(6^3 = 216\) et \(7^3 = 343\). Donc \((0.07)^3 = 0.000343\). La réponse doit être très proche de 0.07 (c'est 0.06826), ce qui permet de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la position des points colinéaires \(L_1\) et \(L_2\) par rapport aux deux masses. La distance \(r\) que nous calculons est la distance de Jupiter (M2) à L1 et L2.

Position de L1 et L2

Calcul(s)

Nous allons décomposer le calcul en deux étapes : d'abord le terme \(\left(\frac{\mu}{3}\right)^{1/3}\), puis la multiplication finale par \(a\).

Étape 1 : Calcul du terme \(\left(\frac{\mu}{3}\right)^{1/3}\)

On substitue \(\mu \approx 0.000954\) (calculé à la Q1) dans l'expression :

\begin{aligned} \text{Terme} &= \left( \frac{\mu}{3} \right)^{1/3} \\ &= \left( \frac{0.000954}{3} \right)^{1/3} \\ &= (0.000318)^{1/3} \\ &\approx 0.06826 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la distance \(r\)

On utilise la formule \(r \approx a \times \text{Terme}\), avec \(a = 5.203 \text{ UA}\) (de l'énoncé) :

\begin{aligned} r &\approx a \times \left( \frac{\mu}{3} \right)^{1/3} \\ &= 5.203 \text{ UA} \times 0.06826 \\ &\approx 0.3551 \text{ UA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que \(L_1\) et \(L_2\) sont relativement proches de Jupiter, "nichés" dans sa sphère d'influence gravitationnelle, loin du Soleil.

Distances dans le Système Solaire

Réflexions

Le point \(L_1\) se trouve à \(5.203 - 0.355 = 4.848\) UA du Soleil. Le point \(L_2\) se trouve à \(5.203 + 0.355 = 5.558\) UA du Soleil. Ces points sont des lieux stratégiques : le télescope spatial James Webb (JWST) est au point \(L_2\) du système Terre-Soleil pour avoir une vue dégagée de l'univers (en tournant le dos au Soleil, à la Terre et à la Lune) tout en restant à une distance gérable pour les communications.

Points de vigilance

Attention, cette formule est une approximation valable pour \(\mu \ll 1\). Le calcul donne la distance par rapport à \(M_2\) (Jupiter), et non par rapport à \(M_1\) (le Soleil).

Points à retenir

Les points \(L_1\) et \(L_2\) sont colinéaires et "gardent" le corps secondaire \(M_2\).
Leur distance à \(M_2\) dépend de la distance totale \(a\) et de la racine cubique du paramètre de masse \(\mu\).

Le saviez-vous ?

Le point \(L_1\) du système Terre-Soleil est intensivement utilisé ! C'est là que se trouvent les observatoires solaires comme SOHO et DSCOVR. En se plaçant là, ils ont une vue ininterrompue du Soleil, 24h/24, 7j/7, ce qui est vital pour surveiller les éruptions solaires et la météo spatiale.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ces points.

Résultat Final

Les points \(L_1\) et \(L_2\) sont situés à environ 0.355 UA de Jupiter (soit environ 53 millions de km).

A vous de jouer

En utilisant la même approximation, à quelle distance (en km) se trouvent les points \(L_1\) et \(L_2\) de la Lune ? (Utilisez \(\mu \approx 0.01215\) et \(a_{\text{Terre-Lune}} \approx 384,400\) km).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Points colinéaires \(L_1, L_2\).
Formule : \(r_{L1/L2} \approx a (\mu/3)^{1/3}\) (distance à \(M_2\)).

Question 3 : Géométrie des points \(L_4\) et \(L_5\)

Principe

Contrairement aux points colinéaires, \(L_4\) et \(L_5\) sont des solutions géométriques. Ils ont été découverts par Joseph-Louis Lagrange avant \(L_1, L_2, L_3\). Il a démontré que si le troisième corps est placé aux sommets de deux triangles équilatéraux (dont la base est la ligne \(M_1\)-\(M_2\)), les forces s'équilibrent parfaitement.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma ci-dessous illustre cette configuration géométrique. La distance \(M_1\)-\(L_4\), \(M_2\)-\(L_4\), et \(M_1\)-\(M_2\) sont toutes égales.

Configuration Triangulaire de L4

Réflexions

Puisque le point \(L_4\) (et de même pour \(L_5\)) forme un triangle équilatéral avec le Soleil (\(M_1\)) et Jupiter (\(M_2\)), sa distance à chacun de ces corps est égale à la distance qui les sépare, soit \(a = 5.203\) UA. C'est pourquoi on les nomme "points triangulaires".

Résultat Final

Les points \(L_4\) et \(L_5\) sont appelés "triangulaires" car ils forment chacun un triangle équilatéral avec les deux corps massifs \(M_1\) et \(M_2\).

A vous de jouer

Si le Soleil et Jupiter étaient distants de 10 UA, quelle serait la distance entre Jupiter et le point \(L_4\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Points triangulaires \(L_4, L_5\).
Géométrie : Forment des triangles équilatéraux avec \(M_1\) et \(M_2\).
Distances : \(d(M_1, L_4) = d(M_2, L_4) = d(M_1, M_2) = a\).

Question 4 : Calculez la valeur du critère de Routh

Principe

Nous allons maintenant tester la stabilité de ces points triangulaires. La stabilité n'est pas garantie ; elle ne fonctionne que si le rapport de masse \(\mu\) est suffisamment petit. Nous appliquons le critère de Routh en utilisant la valeur de \(\mu\) que nous avons calculée à la question 1.

Mini-Cours

Le critère \(27\mu(1-\mu) < 1\) a été établi par Edward John Routh. Il examine les racines de l'équation caractéristique du mouvement d'une particule près de \(L_4\) ou \(L_5\). Si cette condition est respectée, les racines sont des imaginaires purs, ce qui signifie que le mouvement est une superposition d'oscillations stables. Si la condition est violée, au moins une racine a une partie réelle positive, menant à une croissance exponentielle de la déviation, c'est-à-dire l'instabilité.

Remarque Pédagogique

La valeur limite \(\mu_{\text{critique}}\) (qui donne \(27\mu(1-\mu) = 1\)) est \(\mu_{\text{crit}} = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{23}{27}}\right) \approx 0.03852\). Le \(\mu\) du système Terre-Lune (\(\approx 0.01215\)) est en dessous de cette limite, donc ses points L4/L5 sont aussi stables. Par contre, le \(\mu\) du système Soleil-Terre est si petit (\(\approx 3 \times 10^{-6}\)) qu'il est *extrêmement* stable.

Normes

Ceci est un résultat fondamental de la mécanique céleste, découlant de l'analyse de stabilité linéaire du problème restreint des trois corps.

Formule(s)

Critère de Routh

C = 27\mu(1-\mu)

Condition de Stabilité

\[ C < 1 \]

Hypothèses

Ce critère est valide sous les mêmes hypothèses que le problème restreint des trois corps (orbites circulaires, \(m \ll M_1, M_2\)).

Donnée(s)

Nous n'avons besoin que du paramètre de masse calculé précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur
Paramètre de masse	\(\mu\)	\(\approx 0.000954\)

Astuces

Puisque \(\mu\) est si petit, le terme \((1-\mu)\) est très proche de 1 (c'est 0.999046). Pour une estimation rapide, on peut juste calculer \(27 \times \mu\).
\(27 \times 0.000954 \approx 27 \times 0.001 = 0.027\). Le résultat (\(0.0257\)) est très proche. L'approximation est excellente.

Schéma (Avant les calculs)

Nous comparons notre valeur \(\mu\) à la limite critique. Notre \(\mu\) est beaucoup plus petit que la limite, ce qui suggère la stabilité.

Position de μ par rapport à la Limite Critique

Calcul(s)

Le calcul se fait en deux temps : d'abord le terme \((1-\mu)\), puis le produit final \(C\).

Étape 1 : Calcul du terme \((1-\mu)\)

On substitue \(\mu \approx 0.000954\) (de la Q1) :

\begin{aligned} 1-\mu &= 1 - 0.000954 \\ &= 0.999046 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(C\)

On substitue \(\mu\) et \((1-\mu)\) dans la formule \(C = 27\mu(1-\mu)\) :

\begin{aligned} C &= 27 \times \mu \times (1-\mu) \\ &= 27 \times (0.000954) \times (0.999046) \\ &\approx 0.025758 \times 0.999046 \\ &\approx 0.02573 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat du calcul peut être visualisé sur le graphique du simulateur : la barre "Critère de Routh" (\(C \approx 0.0257\)) est bien en dessous de la barre "Limite de Stabilité" (\(C=1\)).

Comparaison Visuelle du Critère de Routh

C (Jup) ≈ 0.0257

Limite = 1.0

Réflexions

La valeur calculée \(C \approx 0.02573\) est extrêmement petite et très nettement inférieure à 1. La condition de stabilité est donc largement respectée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de mal calculer \(\mu\). Si vous aviez inversé \(M_1\) et \(M_2\), vous auriez trouvé \(\mu = M_1 / (M_1 + M_2) \approx 0.999\). Le critère \(C\) aurait donné \(27 \times 0.999 \times (1 - 0.999) \approx 0.0269\), un résultat similaire ! C'est parce que la formule \(C\) est symétrique autour de \(\mu=0.5\). Cependant, le \(\mu\) physique doit être \(\le 0.5\). Ne confondez pas la stabilité mathématique avec la définition physique de \(\mu\).

Points à retenir

La stabilité des points \(L_4\) et \(L_5\) est conditionnelle.
La condition est \(27\mu(1-\mu) < 1\), ce qui équivaut à \(\mu < 0.03852\).
Le système Soleil-Jupiter (\(\mu \approx 0.000954\)) respecte largement cette condition.

Le saviez-vous ?

Le système Terre-Lune est aussi stable (\(C \approx 0.324 < 1\)). On y a d'ailleurs détecté des nuages de poussière (les "nuages de Kordylewski") qui sont piégés en L4 et L5. C'est aussi une cible pour de futures stations spatiales (comme la "Gateway" lunaire, bien que celle-ci soit sur une orbite de halo différente).

FAQ

...

Résultat Final

La valeur du critère de Routh \(C = 27\mu(1-\mu)\) pour le système Soleil-Jupiter est d'environ 0.02573.

A vous de jouer

Le critère est-il respecté pour le système Terre-Lune (\(\mu \approx 0.01215\)) ? Calculez \(C = 27\mu(1-\mu)\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Critère de stabilité de Routh.
Formule : \(C = 27\mu(1-\mu)\).
Condition : Stable si \(C < 1\).

Question 5 : Conclusion sur la stabilité et les Troyens

Principe

La dernière étape consiste à interpréter le résultat de la question 4. Le fait que le critère de Routh soit satisfait (ou non) a des conséquences physiques directes sur ce que l'on peut trouver (ou non) aux points \(L_4\) et \(L_5\).

Réflexions

La question est de savoir si la condition \(C < 1\) est respectée.

Nous avons calculé à la Q4 :

C \approx 0.02573

Nous comparons cette valeur à la limite (1) :

\[ 0.02573 < 1 \]

La condition de Routh est satisfaite (et de loin !). Cela signifie que si un objet (comme un astéroïde) est légèrement perturbé de sa position en \(L_4\) ou \(L_5\), il n'est pas éjecté. Au lieu de cela, il oscillera doucement autour du point d'équilibre. C'est ce qu'on appelle la stabilité.

Cette stabilité, maintenue sur des milliards d'années, a permis au puissant champ gravitationnel de Jupiter de "capturer" des milliers d'astéroïdes dans ces deux zones. Ce sont les astéroïdes Troyens : un groupe orbite en avance sur Jupiter (au point \(L_4\), le "camp grec") et un autre suit Jupiter (au point \(L_5\), le "camp troyen").

Le saviez-vous ?

La NASA a lancé la mission spatiale Lucy en octobre 2021. C'est la toute première mission destinée à explorer les astéroïdes troyens de Jupiter. Elle visitera plusieurs de ces "fossiles" de la formation du système solaire, qui sont piégés aux points \(L_4\) et \(L_5\) depuis des milliards d'années grâce à cette stabilité.

Résultat Final

Puisque \(C \approx 0.02573 < 1\), le critère de Routh est satisfait. Les points \(L_4\) et \(L_5\) du système Soleil-Jupiter sont stables. Cette stabilité explique pourquoi des milliers d'astéroïdes troyens sont piégés dans ces régions.

A vous de jouer

D'après votre calcul de la Q4 pour le système Terre-Lune (\(C \approx 0.324\)), les points \(L_4\) et \(L_5\) de la Terre sont-ils stables ? (Répondez 1 pour 'Stable' ou 0 pour 'Instable').

Outil Interactif : Stabilité de Lagrange

Testez comment le rapport de masse entre deux corps influence la stabilité des points \(L_4\) et \(L_5\). Entrez les exposants pour les masses (par exemple, 30 pour \(10^{30}\) kg et 27 pour \(10^{27}\) kg).

Paramètres d'Entrée

Masse \(M_1\) (ex: \(1.989 \times 10^x\) kg) -> Entrez x : 30 (soit \(1.989 \times 10^{30}\) kg)

Masse \(M_2\) (ex: \(1.898 \times 10^y\) kg) -> Entrez y : 27 (soit \(1.898 \times 10^{27}\) kg)

Résultats Clés

Paramètre de masse (\(\mu\)) -

Critère Routh (\(27\mu(1-\mu)\)) -

Stabilité \(L_4\)/\(L_5\) ? -

Glossaire

Point de Lagrange: Point de l'espace où les champs de gravité de deux grands corps s'équilibrent, permettant à un troisième petit objet de rester stationnaire par rapport à eux (dans le référentiel tournant).
Paramètre de masse (\(\mu\)): Rapport adimensionnel \(\mu = M_2 / (M_1 + M_2)\), qui régit la dynamique du problème restreint des trois corps.
Astéroïdes Troyens: Groupe d'astéroïdes qui partagent l'orbite d'une planète (principalement Jupiter), piégés aux points de Lagrange stables \(L_4\) ou \(L_5\).
Stabilité (de Routh): Capacité d'un point d'équilibre (comme \(L_4\) ou \(L_5\)) à retenir un objet malgré de petites perturbations. La condition est \(27\mu(1-\mu) < 1\).