Calcul de la Masse d'un Amas de Galaxies : Le Théorème du Viriel
Contexte : Le théorème du VirielUne équation qui relie l'énergie cinétique moyenne d'un système gravitationnellement stable à son énergie potentielle gravitationnelle moyenne., un outil fondamental en astrophysique.
Dans les années 1930, l'astronome suisse Fritz Zwicky étudiait l'amas de galaxies de la Chevelure de Bérénice (ou amas de Coma). Il a mesuré la vitesse des galaxies et a constaté qu'elles se déplaçaient beaucoup trop rapidement pour que l'amas reste lié par la seule gravité de la matière visible (étoiles, gaz). Pour expliquer cette stabilité, il postula l'existence d'une quantité massive de matière invisible, qu'il nomma "Dunkle Materie" ou matière noireUne forme de matière hypothétique, invisible, qui n'interagit pas avec la lumière mais qui exerce une force gravitationnelle. Elle constituerait plus de 80% de la matière de l'Univers.. Cet exercice propose de retracer son raisonnement en utilisant le théorème du Viriel pour "peser" l'amas de Coma et découvrir l'un des plus grands mystères de l'astrophysique moderne.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application d'un principe physique fondamental pour résoudre un des plus grands mystères de l'astronomie moderne : la preuve de l'existence de la matière noire.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le théorème du Viriel à un système astrophysique.
- Calculer l'énergie cinétique et potentielle gravitationnelle d'un amas de galaxies.
- Estimer la masse totale (dite "virielle") d'un amas de galaxies.
- Quantifier la proportion de matière noire nécessaire pour expliquer sa dynamique.
Données de l'étude : L'amas de Coma
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Amas de galaxies | Chevelure de Bérénice (Coma) |
| Type | Amas riche et régulier |
| Nombre de galaxies majeures | > 1000 |
Modèle simplifié d'un amas de galaxies
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dispersion des vitesses radiale | \(\sigma_v\) | 1000 | \(\text{km/s}\) |
| Distance de l'amas | \(D\) | 100 | \(\text{Mpc}\) |
| Rayon angulaire de l'amas | \(\theta\) | 2 | \(\text{degrés}\) |
| Masse lumineuse estimée | \(M_{\text{lum}}\) | \(2 \times 10^{13}\) | \(M_\odot\) |
Questions à traiter
- Calculer le rayon physique (R) de l'amas en mètres.
- Calculer l'énergie cinétique totale (\(E_c\)) de l'amas en fonction de sa masse totale M et de sa dispersion de vitesse \(\sigma_v\).
- Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\)) de l'amas en fonction de sa masse totale M, de son rayon R et de la constante gravitationnelle G.
- En utilisant le théorème du Viriel (\(2E_c + E_p = 0\)), dériver la formule de la masse virielle (\(M_{\text{vir}}\)).
- Calculer la masse virielle de l'amas en masses solaires. Comparez cette masse à la masse lumineuse et déterminez le pourcentage de matière noire dans l'amas.
Les bases sur le Théorème du Viriel
Le théorème du Viriel est un résultat puissant de la mécanique statistique. Il s'applique à un système de particules stable, lié par une force, comme un amas de galaxies lié par la gravité. Il établit une relation simple entre l'énergie cinétique totale moyenne dans le temps, \(\langle E_c \rangle\), et l'énergie potentielle totale moyenne, \(\langle E_p \rangle\).
1. Le Théorème du Viriel pour la Gravitation
Pour un système de N particules liées par la force de gravitation (une force en \(1/r^2\)), le théorème s'écrit :
\[ 2\langle E_c \rangle + \langle E_p \rangle = 0 \]
Où \(E_c\) est l'énergie cinétique totale du système (liée à l'agitation des galaxies) et \(E_p\) est son énergie potentielle gravitationnelle totale (liée à la masse qui maintient l'amas cohérent). Pour un système relaxé comme un amas, on peut retirer les moyennes temporelles.
2. Dispersion des Vitesses
Il est impossible de mesurer la vitesse 3D de chaque galaxie. On mesure la vitesse radiale (le long de la ligne de visée) via l'effet Doppler. La dispersion des vitessesUne mesure statistique de la dispersion des vitesses des galaxies autour de la vitesse moyenne de l'amas. C'est l'équivalent d'un écart-type., \(\sigma_v\), est l'écart-type de ces vitesses. En supposant que les mouvements sont isotropes (identiques dans toutes les directions), la vitesse spatiale moyenne au carré \(\langle v^2 \rangle\) est liée à la dispersion radiale par \(\langle v^2 \rangle = 3\sigma_v^2\).
Correction : Calcul de la Masse d'un Amas de Galaxies
Question 1 : Calculer le rayon physique (R) de l'amas en mètres.
Principe
Nous connaissons la distance (D) de l'amas et son diamètre angulaire (\(\theta\)). En utilisant la trigonométrie de base, nous pouvons convertir cet angle en une taille physique. Pour de petits angles, comme c'est le cas en astronomie, on peut utiliser l'approximation des petits angles.
Mini-Cours
La relation entre la taille physique, la distance et l'angle est une application directe de la trigonométrie. Imaginez un triangle rectangle dont le côté opposé à l'angle \(\theta\) est le rayon R et le côté adjacent est la distance D. On a \(\tan(\theta) = R/D\). Pour les très grands triangles en astrophysique, l'angle \(\theta\) est très petit. En mathématiques, pour un petit angle \(\theta\) exprimé en radians, on a l'approximation \(\tan(\theta) \approx \theta\). Cela simplifie grandement les calculs.
Remarque Pédagogique
Pensez-y comme si vous regardiez un objet au loin. Plus il est loin (D grand), plus il paraît petit (angle \(\theta\) petit) pour une même taille physique (R). Notre objectif est de trouver la vraie taille R à partir de sa taille apparente \(\theta\) et de sa distance D.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire ici, mais des conventions cosmologiques. On utilise le Mégaparsec (Mpc) comme unité de distance standard pour les échelles extragalactiques. La conversion \(1 \text{ pc} \approx 3.086 \times 10^{16} \text{ m}\) est une valeur définie par l'Union Astronomique Internationale (UAI).
Formule(s)
Formule des petits angles
Hypothèses
La principale hypothèse est que l'angle est suffisamment petit pour que l'approximation \(\tan(\theta) \approx \theta\) soit valide. Pour 2 degrés, l'erreur est inférieure à 0.1%, ce qui est tout à fait acceptable.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance | \(D\) | 100 | \(\text{Mpc}\) |
| Rayon angulaire | \(\theta\) | 2 | \(\text{degrés}\) |
Astuces
Pour convertir rapidement des degrés en radians, souvenez-vous que \(180^\circ = \pi\) radians. Donc, pour convertir un angle \(x\) en degrés, il suffit de calculer \(x \times \pi / 180\). C'est une étape cruciale souvent oubliée !
Schéma (Avant les calculs)
Relation Angulaire
Calcul(s)
Conversion de la distance D en mètres
Conversion du rayon angulaire θ en radians
Calcul du rayon physique R
Réflexions
Le rayon de l'amas est d'environ \(10^{23}\) mètres, soit plus de 10 millions d'années-lumière. Cela nous donne une idée de l'immensité de ces structures cosmiques. C'est à cette échelle que la gravité règne en maître.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les degrés en radians avant d'appliquer la formule. Si vous multipliez directement par 2 (degrés), vous obtiendrez un résultat absurde, plus de 50 fois trop grand !
Points à retenir
- La taille physique d'un objet distant se déduit de sa taille angulaire et de sa distance.
- L'approximation des petits angles (\(R \approx D \times \theta_{\text{rad}}\)) est un outil essentiel en astronomie.
- La conversion des unités (Mpc en m, degrés en rad) est une étape critique avant tout calcul.
Le saviez-vous ?
Le Parsec (contraction de "parallaxe-seconde") est défini comme la distance à laquelle une unité astronomique (la distance Terre-Soleil) sous-tend un angle d'une seconde d'arc. C'est une unité de distance basée sur la trigonométrie et la mesure de la parallaxe des étoiles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre amas se situe à 150 Mpc et a un rayon angulaire de 1.5 degrés. Quel est son rayon physique en mètres ? (Réponse attendue en notation scientifique, ex: 1.23e23)
Question 2 : Calculer l'énergie cinétique totale (\(E_c\)) de l'amas.
Principe
L'énergie cinétique totale est l'énergie liée au mouvement de toutes les galaxies. C'est une mesure de l'agitation interne de l'amas. On peut l'exprimer en utilisant la masse totale M de l'amas et la vitesse quadratique moyenne \(\langle v^2 \rangle\) de ses galaxies, qui représente cette agitation.
Mini-Cours
L'énergie cinétique d'un corps de masse \(m\) et de vitesse \(v\) est \(1/2 mv^2\). Pour un système de masse totale M, l'énergie cinétique totale est \(E_c = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle\). Comme on ne mesure que la dispersion des vitesses radiales \(\sigma_v\), on doit faire le lien avec la vitesse spatiale totale. En supposant une distribution de vitesse isotrope (les mouvements sont aléatoires et identiques dans les 3 directions de l'espace), la physique statistique montre que \(\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle = 3\sigma_v^2\).
Remarque Pédagogique
Imaginez un essaim d'abeilles. L'énergie cinétique totale de l'essaim dépend de sa masse totale et de la vitesse à laquelle les abeilles s'agitent en moyenne. C'est pareil pour les galaxies dans un amas : la dispersion des vitesses est notre mesure de leur "agitation".
Normes
Pas de norme applicable ici, il s'agit d'une application de principes de base de la mécanique statistique.
Formule(s)
Formule de l'énergie cinétique
Hypothèses
L'hypothèse cruciale ici est l'isotropie des vitesses : on suppose que les galaxies n'ont pas de direction de mouvement privilégiée et que la dispersion de vitesse que l'on mesure le long de la ligne de visée est représentative des dispersions dans les deux autres directions.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour cette formule sont symboliques : la masse totale M (encore inconnue) et la dispersion des vitesses \(\sigma_v\).
Astuces
Le facteur 3 dans la formule vient directement des 3 dimensions de l'espace. C'est un bon moyen de se souvenir de la relation entre la vitesse spatiale totale et la vitesse mesurée sur une seule direction.
Schéma (Avant les calculs)
Agitation Cinétique des Galaxies
Calcul(s)
Cette question est une dérivation et non un calcul numérique. Le calcul consiste à substituer \(\langle v^2 \rangle = 3\sigma_v^2\) dans la formule de base de l'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle\).
Réflexions
Cette formule est très puissante car elle relie une quantité mesurable (\(\sigma_v\)) à l'énergie totale du système, qui elle-même dépendra de la masse totale que l'on cherche. C'est le premier pilier de notre raisonnement.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier le facteur 3/2. Une erreur courante est d'utiliser directement \(E_c = \frac{1}{2} M \sigma_v^2\), ce qui reviendrait à ignorer les mouvements dans les deux directions perpendiculaires à la ligne de visée et sous-estimerait l'énergie cinétique d'un facteur 3.
Points à retenir
- L'énergie cinétique d'un amas est proportionnelle à sa masse totale et au carré de sa dispersion de vitesse.
- L'hypothèse d'isotropie est nécessaire pour passer de la vitesse radiale mesurée à la vitesse spatiale totale.
- La formule à retenir est \( E_c = \frac{3}{2} M \sigma_v^2 \).
Le saviez-vous ?
La mesure de la dispersion des vitesses se fait grâce à l'effet Doppler-Fizeau. La lumière d'une galaxie qui s'éloigne de nous est décalée vers le rouge (redshift), et celle d'une galaxie qui s'approche est décalée vers le bleu (blueshift). En mesurant ces décalages pour des centaines de galaxies, on peut reconstituer leur distribution de vitesse.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si un amas a une masse \(M\) et une dispersion de vitesse \(2\sigma_v\), par quel facteur son énergie cinétique est-elle multipliée ?
Question 3 : Exprimer l'énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\)) de l'amas.
Principe
L'énergie potentielle gravitationnelle est l'énergie "de liaison" de l'amas. C'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour démanteler l'amas en dispersant toutes ses galaxies à l'infini. Elle dépend de la masse totale de l'amas et de la façon dont cette masse est répartie dans l'espace (sa taille et son profil de densité).
Mini-Cours
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un système de deux masses \(m_1\) et \(m_2\) séparées par une distance \(r\) est \(E_p = -G m_1 m_2 / r\). Pour un système complexe comme une sphère de matière, on doit intégrer cette relation sur toutes les paires de particules. Le calcul exact dépend du profil de densité de la sphère. Pour le cas simple d'une sphère de densité uniforme, le résultat est \(E_p = -\frac{3}{5} \frac{G M^2}{R}\). Le facteur 3/5 est un facteur géométrique qui résulte de cette intégration.
Remarque Pédagogique
Le signe "moins" est crucial ! Il signifie que le système est lié. L'énergie est "piégée" dans le puits de potentiel gravitationnel de l'amas. Plus la masse est grande et plus l'amas est compact (R petit), plus l'énergie potentielle est négative, et plus le système est fortement lié.
Normes
Pas de norme applicable. La valeur de la constante de gravitation universelle, \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1} \text{ s}^{-2}\), est une constante fondamentale de la physique déterminée expérimentalement.
Formule(s)
Formule de l'énergie potentielle
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse simplificatrice que l'amas peut être modélisé comme une sphère de densité uniforme. En réalité, les amas sont plus denses au centre, mais cette approximation donne un bon ordre de grandeur.
Donnée(s)
Les données d'entrée sont symboliques : la masse M, le rayon R et la constante G.
Astuces
Souvenez-vous que l'énergie potentielle est proportionnelle à \(M^2/R\). Cela a du sens : l'interaction gravitationnelle dépend du produit des masses (\(M \times M\)) et est inversement proportionnelle à leur distance de séparation (caractérisée par R).
Schéma (Avant les calculs)
Modèle d'une sphère de masse M et rayon R
Calcul(s)
Comme pour la question 2, il s'agit de présenter la formule théorique, pas d'un calcul numérique.
Réflexions
Cette expression de l'énergie potentielle est le second pilier de notre raisonnement. Elle relie les propriétés géométriques (R) et massiques (M) de l'amas à son énergie interne. Nous avons maintenant les deux termes de l'équation du Viriel.
Points de vigilance
Ne jamais oublier le signe négatif de l'énergie potentielle gravitationnelle pour un système lié. Un signe positif décrirait un système en expansion qui n'est pas stable.
Points à retenir
- L'énergie potentielle gravitationnelle est l'énergie de liaison d'un système.
- Elle est toujours négative pour un système stable.
- Pour une sphère uniforme, la formule est \( E_p = -\frac{3}{5} \frac{G M^2}{R} \).
Le saviez-vous ?
Le facteur géométrique (3/5) change si le profil de densité n'est pas uniforme. Pour des profils plus réalistes comme le profil de Navarro-Frenk-White (NFW), souvent utilisé pour décrire les halos de matière noire, ce facteur est différent.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on garde la même masse M mais qu'on divise le rayon R par 2 (l'amas devient plus compact), par quel facteur l'énergie potentielle \(E_p\) est-elle multipliée ?
Question 4 : Dériver la formule de la masse virielle (\(M_{\text{vir}}\)).
Principe
Le moment de vérité. Le théorème du Viriel affirme que pour un système stable, l'agitation cinétique (qui tend à disperser l'amas) est exactement contrebalancée par l'énergie de liaison gravitationnelle (qui tend à le faire s'effondrer). En posant l'égalité entre ces deux forces, on peut extraire la masse totale M nécessaire pour assurer cet équilibre.
Mini-Cours
Le théorème du Viriel, \(2E_c + E_p = 0\), peut être réécrit \(2E_c = -E_p\). Physiquement, cela signifie que l'énergie cinétique totale est égale à la moitié de l'opposé de l'énergie potentielle. Cette relation fixe est la signature d'un système gravitationnellement stable et équilibré, que l'on dit "virialisé". En injectant nos expressions pour \(E_c\) et \(E_p\), on obtient une équation avec une seule inconnue : la masse M.
Remarque Pédagogique
C'est comme "peser" un objet invisible. On ne voit pas la masse, mais on voit ses effets (la vitesse des galaxies). En mesurant ces effets, on peut déduire la cause. C'est le cœur de la méthode de Zwicky.
Normes
Aucune norme, il s'agit d'une dérivation mathématique à partir de principes physiques.
Formule(s)
Théorème du Viriel
Hypothèses
L'hypothèse fondamentale est que l'amas est "virialisé", c'est-à-dire qu'il est dans un état d'équilibre dynamique stable. S'il était en train de s'effondrer ou de se disperser, le théorème ne s'appliquerait pas sous cette forme simple.
Donnée(s)
| Paramètre | Formule |
|---|---|
| Énergie Cinétique | \( E_c = \frac{3}{2} M \sigma_v^2 \) |
| Énergie Potentielle | \( E_p = -\frac{3}{5} \frac{G M^2}{R} \) |
Schéma (Avant les calculs)
L'Équilibre du Viriel
Calcul(s)
Dérivation de la masse virielle
Schéma (Après les calculs)
Composition de la Masse de l'Amas de Coma
Réflexions
Ce résultat est stupéfiant. Il implique que plus de 99% de la masse de l'amas de Coma n'est pas sous forme d'étoiles ou de gaz visible, mais sous une forme invisible qui n'interagit que par la gravité : la matière noire. Ce "problème de la masse manquante" est l'une des plus grandes énigmes de la cosmologie moderne et le théorème du Viriel a été la première méthode pour le mettre en évidence.
Points de vigilance
Attention aux puissances de 10 ! Une erreur dans la manipulation des exposants peut changer radicalement le résultat. Il est bon de calculer séparément la partie numérique et la partie en puissance de 10 pour vérifier.
Points à retenir
- La masse dynamique (virielle) des amas est systématiquement bien plus grande que leur masse lumineuse.
- Cette différence est la preuve la plus directe de l'existence de la matière noire.
- La matière noire est la composante de masse dominante dans les grandes structures de l'Univers.
Le saviez-vous ?
D'autres preuves de l'existence de la matière noire sont venues confirmer les travaux de Zwicky, notamment la vitesse de rotation des galaxies spirales (qui ne décroît pas avec la distance comme prévu) et les effets de lentilles gravitationnelles, où la lumière d'objets lointains est déviée par la masse d'un amas situé en avant-plan.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la dispersion des vitesses était de 800 km/s au lieu de 1000 km/s (toutes choses égales par ailleurs), quelle serait la nouvelle masse virielle en masses solaires ? (Notation scientifique, ex: 1.23e15)
Outil Interactif : Simulateur de Masse Virielle
Utilisez les curseurs pour voir comment la dispersion des vitesses des galaxies et le rayon d'un amas influencent sa masse totale estimée par le théorème du Viriel. Observez à quel point les vitesses élevées nécessitent une masse énorme pour maintenir l'amas stable.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Le théorème du Viriel établit un lien entre...
2. Qu'est-ce que la "dispersion des vitesses" d'un amas de galaxies ?
3. L'observation par Fritz Zwicky de vitesses étonnamment élevées dans l'amas de Coma l'a conduit à postuler...
4. Selon la formule de la masse virielle, si la dispersion des vitesses d'un amas double (et que son rayon ne change pas), sa masse estimée...
5. La masse d'un amas de galaxies calculée avec le théorème du Viriel est généralement...
Glossaire
- Théorème du Viriel
- Une équation de la mécanique statistique qui relie l'énergie cinétique totale moyenne d'un système stable à son énergie potentielle totale moyenne. Pour un système gravitationnel, il s'écrit \(2\langle E_c \rangle + \langle E_p \rangle = 0\).
- Matière Noire
- Une forme de matière non lumineuse et non baryonique qui n'interagit avec la matière ordinaire que par la gravité. Elle est supposée constituer environ 85% de la matière dans l'univers.
- Dispersion des Vitesses (\(\sigma_v\))
- Mesure statistique de la vitesse d'agitation des objets (étoiles, galaxies) au sein d'un système gravitationnellement lié. C'est l'écart-type des vitesses mesurées par rapport à la moyenne.
- Mégaparsec (Mpc)
- Une unité de distance utilisée en astronomie extragalactique. Un parsec (pc) vaut environ 3,26 années-lumière. Un Mégaparsec équivaut à un million de parsecs, soit environ \(3.086 \times 10^{22}\) mètres.
D’autres exercices d’astrophysique galactique:
0 commentaires