Calcul de la Structure Interne d’une Planète Tellurique

Point Clé : Toujours commencer par l'équation la plus simple et la plus fondamentale qui décrit le système. Ici, c'est la conservation de la masse. Cette équation de base servira de "squelette" pour y insérer des expressions plus complexes par la suite.

En physique, la "norme" est le **principe de conservation de la masse**. C'est une loi fondamentale qui stipule que la masse d'un système isolé reste constante au cours du temps, quelles que soient les transformations internes. C'est le point de départ incontestable de notre calcul.

On suppose que la planète est un système fermé composé de deux et seulement deux parties : un noyau et un manteau. On néglige la masse de l'atmosphère, des océans et de la croûte.

Cette équation simple est le fondement de notre modèle. Elle établit une relation directe entre la quantité totale de matière (la masse planétaire, qui est mesurable par la gravité) et la répartition de cette matière à l'intérieur (les masses du noyau et du manteau, qui sont nos inconnues).
Point à retenir : La masse totale est la contrainte principale du modèle.

Cette première étape est cruciale car elle pose le cadre du problème. Sans cette relation fondamentale, il serait impossible de lier les propriétés des différentes couches à la planète dans son ensemble.

Ne pas oublier de couches si le modèle en spécifie plus. Si une croûte était incluse, l'équation deviendrait \(M_{\text{p}} = M_{\text{c}} + M_{\text{m}} + M_{\text{croûte}}\).

Point Clé : Visualisez bien la géométrie. Le manteau n'est pas une sphère de rayon \(R_{\text{p}}-R_{\text{c}}\). C'est une grosse sphère de rayon \(R_{\text{p}}\) à laquelle on a enlevé une petite sphère de rayon \(R_{\text{c}}\) au centre. Cette distinction est la source d'erreur la plus commune dans ce type de problème.

Les "normes" ici sont les **formules géométriques standards** pour le volume d'une sphère, établies depuis l'Antiquité (Archimède). La relation \(M = \rho \times V\) est la définition même de la densité (masse volumique).

On suppose que les densités \(\rho_{\text{c}}\) et \(\rho_{\text{m}}\) sont uniformes au sein de chaque couche. C'est une simplification majeure, car en réalité la densité augmente avec la profondeur à cause de la compression.

Ces deux équations sont le cœur du modèle. Elles traduisent notre hypothèse de structure (deux sphères) en langage mathématique, en reliant les masses que nous ne connaissons pas (\(M_{\text{c}}, M_{\text{m}}\)) à la géométrie (\(R_{\text{c}}, R_{\text{p}}\)) et aux propriétés des matériaux (\(\rho_{\text{c}}, \rho_{\text{m}}\)).
Point à retenir : La masse d'une couche dépend de son volume ET de sa densité.

Cette étape est indispensable pour introduire notre inconnue, \(R_{\text{c}}\), dans l'équation de masse totale. C'est le pont qui connecte la géométrie interne de la planète à sa masse globale.

Erreur sur le volume du manteau : Une erreur fréquente est de calculer le volume du manteau avec la formule \( \frac{4}{3}\pi (R_{\text{p}} - R_{\text{c}})^3 \). C'est incorrect ! Le volume est la différence des volumes : \(V_{\text{p}} - V_{\text{c}}\).

Point Clé : Prenez votre temps et soyez méthodique. Mettez en évidence le terme que vous cherchez à isoler (\(R_{\text{c}}^3\)). Factorisez les termes communs comme \(\frac{4}{3}\pi\) pour simplifier l'expression et réduire les risques d'erreur de calcul.

Les "normes" qui régissent cette étape sont les **règles fondamentales de l'algèbre** : associativité, commutativité, distributivité. Ces axiomes permettent de manipuler les équations de manière rigourouse pour garantir que le résultat final est logiquement équivalent à l'équation de départ.

On suppose que toutes les variables (\(M_{\text{p}}, R_{\text{p}}, \rho_{\text{c}}, \rho_{\text{m}}\)) sont des constantes connues, et que \(R_{\text{c}}\) est la seule inconnue à déterminer. On suppose également que \(\rho_{\text{c}} \neq \rho_{\text{m}}\), sinon le dénominateur serait nul et la solution indéfinie.

Cette formule est le résultat le plus important du modèle. Elle montre comment une propriété interne et non visible (\(R_{\text{c}}\)) dépend directement des propriétés globales mesurables (\(M_{\text{p}}, R_{\text{p}}\)) et des propriétés des matériaux supposés (\(\rho_{\text{c}}, \rho_{\text{m}}\)).
Point à retenir : L'algèbre permet de transformer un problème physique complexe en une simple recette de calcul.

Cette étape est la résolution mathématique du problème. Elle transforme notre système de trois équations conceptuelles en une unique formule explicite et calculable, ce qui est l'objectif final de la modélisation.

Attention aux erreurs de signe lors du déplacement des termes d'un côté à l'autre de l'équation. Une erreur sur un signe dans le numérateur ou le dénominateur peut conduire à un résultat physiquement absurde (un rayon négatif ou imaginaire).

Point Clé : Avant de toucher à votre calculatrice, convertissez TOUTES vos données dans le Système International d'Unités (SI) : mètres, kilogrammes, secondes. C'est la meilleure façon de garantir un résultat correct sans se perdre dans les conversions.

Le **Système International d'Unités (SI)** est la "norme" universelle en sciences. Son utilisation est essentielle pour la collaboration et la reproductibilité des calculs. Les constantes fondamentales de la physique sont toujours exprimées en unités SI.

On utilise les valeurs moyennes pour les densités et les dimensions de la Terre. On suppose que ces valeurs sont suffisamment précises pour notre modèle simplifié.

Le rayon calculé (3430 km) est remarquablement proche de la valeur sismique acceptée pour le noyau externe de la Terre (environ 3485 km). L'écart n'est que de ~1.5%.
Points à retenir :
1. Les modèles simples, basés sur des principes physiques fondamentaux, peuvent être étonnamment précis.
2. La cohérence des unités est non-négociable pour obtenir un résultat correct.
3. Le résultat final doit toujours être critiqué en le comparant aux valeurs connues ou attendues.

C'est l'aboutissement de tout le raisonnement. Cette étape transforme un modèle abstrait et des formules littérales en une prédiction quantitative et vérifiable. C'est le moment où la physique théorique rencontre le monde réel.

Oublier la conversion des unités : Utiliser le rayon de la Terre en km dans une formule avec des densités en kg/m³ est l'erreur la plus courante. Elle conduit à un résultat complètement faux. N'oubliez pas non plus de prendre la racine cubique à la fin, et non la racine carrée !