L'horizon cosmologique : calcul de sa taille à différentes époques
Contexte Cosmologique
L'horizon cosmologique (ou plus précisément, l'horizon des particules) représente la distance maximale à laquelle se trouve la région de l'Univers observable aujourd'hui. C'est la "frontière" de l'Univers visible, au-delà de laquelle la lumière n'a pas encore eu le temps de nous parvenir depuis le Big Bang. Sa taille dépend de l'histoire de l'expansion de l'Univers. Le calcul de sa taille à différentes époques est fondamental pour comprendre des concepts clés comme le problème de l'horizon, qui a motivé la théorie de l'inflation cosmologique.
Remarque Pédagogique : Contrairement à une idée reçue, l'horizon cosmologique n'est pas simplement l'âge de l'Univers multiplié par la vitesse de la lumière. L'expansion de l'espace complique le calcul. Cet exercice a pour but de démystifier ce calcul et de montrer comment il dépend de la "substance" qui domine l'Univers (rayonnement, matière, etc.) à une époque donnée.
Données de l'étude
- Vitesse de la lumière, \(c\)
- Paramètre de Hubble aujourd'hui, \(H_0 \approx 70 \, \text{km s}^{-1} \text{Mpc}^{-1}\)
- Âge de l'Univers aujourd'hui, \(t_0 \approx 13.8 \, \text{milliards d'années}\)
- Redshift de l'égalité matière-rayonnement : \(z_{\text{eq}} \approx 3400\)
- Redshift de la recombinaison : \(z_{\text{rec}} \approx 1100\)
Schéma de l'Horizon Cosmologique
Questions à traiter
- Donner la définition intégrale de la distance de l'horizon des particules \(d_H(t)\).
- Durant l'ère dominée par le rayonnement (\(a(t) \propto t^{1/2}\)), montrer que \(d_H(t) = 2ct\).
- Durant l'ère dominée par la matière (\(a(t) \propto t^{2/3}\)), montrer que \(d_H(t) = 3ct\).
- Calculer la taille de l'horizon à l'époque de la recombinaison (\(t_{\text{rec}} \approx 380,000 \, \text{ans}\)). On supposera être en ère de matière.
- Discuter pourquoi le résultat de la question 3 ne s'applique pas pour calculer la taille de l'horizon aujourd'hui et expliquer qualitativement pourquoi la taille actuelle est plus grande.
Correction : L'horizon cosmologique : calcul de sa taille à différentes époques
Question 1 : Définition de l'Horizon
Principe :
L'horizon des particules à un temps \(t\) est la distance propre maximale qu'un photon a pu parcourir depuis le Big Bang (\(t=0\)). Il est défini par l'intégrale du chemin parcouru par la lumière (\(ds=cdt\)) divisé par le facteur d'échelle \(a(t')\) pour tenir compte de l'expansion de l'espace.
Formule(s) utilisée(s) :
Ici, nous calculons la distance de l'horizon comobile, qui est souvent ce qui est implicitement entendu. La distance propre est \(d_H^{\text{propre}}(t) = a(t) d_H^{\text{comobile}}(t)\). Pour simplifier, nous allons calculer la distance parcourue par la lumière dans un univers en expansion, \(d_H(t) = c \int_0^t \frac{dt'}{a(t')}\).
Question 2 : Horizon en Ère de Rayonnement
Principe :
Au début de l'Univers, l'énergie des radiations domine. La dynamique du facteur d'échelle suit une loi de puissance simple \(a(t) = (t/t_1)^{1/2}\) où \(t_1\) est une constante. On intègre la définition de l'horizon avec cette loi.
Remarque Pédagogique : Le fait que \(d_H = 2ct\) et non simplement \(ct\) est un résultat direct de l'expansion. L'espace lui-même s'étirant, un photon peut parcourir une distance propre plus grande que ce que l'on attendrait dans un espace statique. C'est un concept fondamental de la cosmologie.
Calcul :
Quiz Intermédiaire : Si \(d_H(t) = 2ct\), cela signifie que la taille de l'horizon croît...
Question 3 : Horizon en Ère de Matière
Principe :
Après l'égalité matière-rayonnement, la matière non relativiste domine. La dynamique du facteur d'échelle change pour \(a(t) \propto t^{2/3}\). Le calcul est similaire, mais avec un exposant différent.
Remarque Pédagogique : La transition de \(2ct\) à \(3ct\) montre que l'histoire de l'expansion de l'Univers a un impact direct sur la taille de notre monde visible. L'expansion "ralentit" (le taux d'expansion diminue moins vite) en ère de matière par rapport à l'ère du rayonnement, ce qui permet à la lumière de couvrir "plus de terrain" comparativement.
Calcul :
Question 4 : Taille de l'horizon à la Recombinaison
Principe :
La recombinaison se produit à \(t_{\text{rec}} \approx 380,000\) ans. À cette époque, l'Univers est bien dans son ère de domination par la matière. On peut donc appliquer la formule \(d_H = 3ct\).
Calcul :
D'abord, on convertit le temps en secondes :
Ensuite, on calcule la distance en années-lumière (c'est plus intuitif) :
Cela correspond à environ 0.35 Méga-parsecs (Mpc).
Question 5 : Horizon Aujourd'hui
Analyse et Conclusion :
Aujourd'hui, l'Univers n'est plus dominé par la matière mais par l'énergie sombre (\(\Omega_{\Lambda,0} \approx 0.7\)), qui provoque une expansion accélérée. La loi de puissance \(a(t) \propto t^{2/3}\) n'est plus valable. L'expansion accélérée fait que les régions lointaines de l'espace s'éloignent de nous de plus en plus vite. Par conséquent, la distance que la lumière peut parcourir depuis le Big Bang jusqu'à nous est significativement plus grande que ce que la simple extrapolation de l'ère de la matière (\(3ct_0\)) suggérerait. Le calcul complet, qui intègre numériquement sur toute l'histoire de l'Univers (radiation, matière et énergie sombre), donne une distance de l'horizon des particules d'environ 46.5 milliards d'années-lumière. Notre simple formule \(3ct_0 \approx 3 \times 13.8 = 41.4\) milliards d'années-lumière est une sous-estimation, car elle ignore l'effet de l'accélération récente.
Simulation Interactive de l'Horizon
Utilisez les contrôles pour voir comment les paramètres cosmologiques affectent la taille de l'Univers observable aujourd'hui. Notez la forte dépendance à \(H_0\).
Paramètres Cosmologiques
Résultats de la Simulation (Aujourd'hui)
Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion
Le Problème de l'Horizon :
Le fond diffus cosmologique (CMB), émis à la recombinaison, est incroyablement uniforme en température dans toutes les directions du ciel. Or, notre calcul montre qu'à cette époque, deux points opposés du ciel étaient séparés par une distance bien plus grande que la taille de l'horizon de l'époque. Ils n'auraient donc jamais pu communiquer et se mettre à la même température. C'est le "problème de l'horizon". La théorie de l'inflation cosmologique résout ce paradoxe en postulant une phase d'expansion exponentielle ultra-rapide au tout début de l'Univers, qui aurait "étiré" une minuscule région causalement connectée pour en faire l'intégralité de notre Univers observable.
Foire Aux Questions (FAQ)
Si l'Univers a 13.8 milliards d'années, comment peut-il mesurer 93 milliards d'années-lumière de diamètre ?
C'est une conséquence directe de l'expansion de l'espace. La lumière d'une galaxie lointaine a voyagé pendant près de 13.8 milliards d'années pour nous atteindre. Mais pendant ce temps, l'espace entre nous et cette galaxie s'est considérablement étiré. La position actuelle de cette galaxie est donc bien plus lointaine que 13.8 milliards d'années-lumière. Le rayon de l'Univers observable (la distance de l'horizon) est d'environ 46.5 milliards d'années-lumière, d'où un diamètre de 93.
L'horizon s'agrandit-il toujours ?
Oui, mais de manière complexe. Notre horizon des particules continue de s'agrandir car la lumière de régions toujours plus lointaines a le temps de nous atteindre. Cependant, à cause de l'expansion accélérée, il existe un "horizon des événements" : une frontière au-delà de laquelle les galaxies s'éloignent de nous plus vite que la lumière. Nous ne recevrons jamais la lumière émise *maintenant* par ces galaxies. Les galaxies que nous voyons aujourd'hui près de notre horizon des particules ont déjà franchi cet horizon des événements.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. La taille de l'horizon des particules dépend principalement de :
2. Le "problème de l'horizon" vient de l'observation que :
3. Dans un futur lointain, si l'expansion accélérée continue, un observateur verra :
Glossaire
- Horizon des particules
- La distance maximale de laquelle des particules (comme les photons) ont pu nous parvenir depuis le début de l'Univers. Il définit la limite de l'Univers observable.
- Facteur d'échelle (\(a(t)\))
- Paramètre sans dimension qui décrit comment les distances relatives dans l'Univers changent avec le temps. Par convention, \(a(t_0) = 1\) aujourd'hui.
- Redshift (\(z\))
- Mesure du décalage vers le rouge de la lumière des objets lointains, causé par l'expansion de l'Univers. Il est lié au facteur d'échelle par \(1+z = 1/a\).
- Modèle ΛCDM
- Le modèle cosmologique standard, qui décrit un univers dominé par de l'énergie sombre (Lambda, \(\Lambda\)) et de la matière noire froide (Cold Dark Matter, CDM).
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