Calcul de la densité critique de l'Univers
Comprendre la Densité Critique et le Destin de l'Univers
La densité critique, notée \(\rho_c\), est l'une des valeurs les plus importantes en cosmologie. Elle représente la densité de masse et d'énergie exacte qui serait nécessaire pour "aplatir" la géométrie de l'Univers. Autrement dit, c'est la densité qui marque la frontière entre un Univers qui continuera de s'étendre pour toujours et un Univers qui finira par s'effondrer sur lui-même dans un "Big Crunch". Le destin de l'Univers est souvent décrit par le paramètre de densité \(\Omega = \rho / \rho_c\), où \(\rho\) est la densité réelle de l'Univers. Si \(\Omega > 1\), l'Univers est fermé et se recontractera. Si \(\Omega < 1\), il est ouvert et s'étendra éternellement. Si \(\Omega = 1\), l'Univers est plat et son expansion ralentira indéfiniment sans jamais s'inverser. Cet exercice se concentre sur le calcul de cette densité critique à partir de constantes fondamentales.
Données de l'étude
- Constante gravitationnelle : \(G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
- Constante de Hubble : \(H_0 = 70 \, \text{km/s/Mpc}\)
- Conversion de distance : \(1 \, \text{Mpc} \approx 3.086 \times 10^{19} \, \text{km}\)
- Formule de la densité critique : \(\rho_c = \frac{3 H_0^2}{8 \pi G}\)
Schéma : Destin de l'Univers selon sa Densité
La densité de l'Univers, comparée à la densité critique, détermine sa géométrie et son évolution future.
Questions à traiter
- La formule de la densité critique requiert \(H_0\) en unités du SI (\(\text{s}^{-1}\)). Convertir \(H_0 = 70 \, \text{km/s/Mpc}\) en \(\text{s}^{-1}\).
- Calculer la densité critique \(\rho_c\) en \(\text{kg/m}^3\).
- Cette densité est extrêmement faible. Pour la rendre plus concrète, on la compare souvent à la densité de l'eau (\(1000 \, \text{kg/m}^3\)). Combien de fois la densité de l'eau est-elle supérieure à la densité critique ?
- Sachant que la masse d'un atome d'hydrogène est d'environ \(1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg}\), combien d'atomes d'hydrogène par mètre cube cela représente-t-il ?
Correction : Calcul de la Densité Critique
Question 1 : Conversion de \(H_0\) en Unités du SI
Principe :
Pour utiliser la formule de la densité critique, toutes les constantes doivent être exprimées dans le Système International d'unités (m, kg, s). Nous devons donc convertir les kilomètres et les Mégaparsecs en mètres.
Calcul :
Question 2 : Calcul de la Densité Critique (\(\rho_c\))
Principe :
Maintenant que \(H_0\) et \(G\) sont en unités SI, nous pouvons appliquer directement la formule de la densité critique.
Formule(s) utilisée(s) :
Calcul :
Question 3 : Comparaison avec la Densité de l'Eau
Principe :
Pour apprécier à quel point l'Univers est vide en moyenne, on compare sa densité critique à une densité familière, celle de l'eau.
Calcul :
La densité de l'eau est environ \(10^{29}\) fois plus grande que la densité critique de l'Univers. Cela illustre l'immense vide de l'espace cosmique à grande échelle.
Question 4 : Densité en Atomes d'Hydrogène
Principe :
Exprimer la densité critique en nombre de particules par unité de volume est une autre façon de se la représenter. On utilise l'atome le plus simple et le plus abondant, l'hydrogène.
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Si la densité réelle de l'Univers \(\rho\) est supérieure à la densité critique \(\rho_c\), alors l'Univers est...
2. Le paramètre de densité \(\Omega\) est défini par \(\rho / \rho_c\). Les observations actuelles (notamment du CMB) suggèrent que la valeur de \(\Omega\) est :
3. Si la constante de Hubble \(H_0\) était plus grande, comment cela affecterait-il la densité critique \(\rho_c\) ?
Glossaire
- Densité Critique (\(\rho_c\))
- Densité de matière-énergie qui correspond à un Univers à la géométrie plate (\(\Omega=1\)). C'est la valeur seuil qui sépare un destin d'expansion éternelle d'un destin de re-contraction.
- Paramètre de Densité (\(\Omega\))
- Rapport sans dimension entre la densité réelle de l'Univers (\(\rho\)) et la densité critique (\(\rho_c\)). \(\Omega = \rho / \rho_c\). Sa valeur détermine la géométrie et le destin de l'Univers.
- Univers Plat
- Un Univers où la géométrie de l'espace-temps est euclidienne (la somme des angles d'un triangle fait 180°). Cela correspond à \(\Omega=1\).
- Univers Ouvert
- Un Univers où la géométrie est hyperbolique (courbure négative). Il s'étendra pour toujours. Cela correspond à \(\Omega<1\).
- Univers Fermé
- Un Univers où la géométrie est sphérique (courbure positive). Son expansion s'arrêtera et il se recontractera en un "Big Crunch". Cela correspond à \(\Omega>1\).
D’autres exercices de cosmologie:
0 commentaires