Le décalage vers le rouge (redshift)

Le décalage vers le rouge (redshift) : calcul et interprétation

Le décalage vers le rouge (redshift) : calcul et interprétation

Comprendre le Décalage vers le Rouge

Le décalage vers le rouge, ou "redshift", est l'un des piliers de la cosmologie moderne. Il décrit un phénomène où la lumière émise par des objets lointains, comme des galaxies ou des quasars, nous parvient avec une longueur d'onde plus longue (plus "rouge") que celle à laquelle elle a été émise. Ce décalage n'est pas principalement dû à un effet Doppler classique (comme le son d'une sirène qui change de hauteur), mais à l'expansion de l'espace lui-même : pendant que la lumière voyage à travers l'Univers, l'espace s'étire et "étire" la longueur d'onde de la lumière avec lui. En mesurant ce décalage pour une raie spectrale dont on connaît la longueur d'onde au repos (mesurée en laboratoire), on peut déduire la vitesse d'éloignement de l'objet et, par conséquent, sa distance.

Données de l'étude

Un astronome observe le spectre d'un quasar lointain et se concentre sur la raie d'émission de l'hydrogène Lyman-alpha (\(\text{Ly-}\alpha\)).

Constantes et Données :

  • Longueur d'onde observée de la raie \(\text{Ly-}\alpha\) : \(\lambda_{\text{obs}} = 486.4 \, \text{nm}\)
  • Longueur d'onde au repos (en laboratoire) de la raie \(\text{Ly-}\alpha\) : \(\lambda_{\text{repos}} = 121.6 \, \text{nm}\)
  • Vitesse de la lumière : \(c \approx 300,000 \, \text{km/s}\)
  • Constante de Hubble (pour la dernière question) : \(H_0 = 70 \, \text{km/s/Mpc}\)
Schéma : Le Redshift Cosmologique
🌌 Émission 🌍 Réception \(\lambda_{\text{repos}}\) \(\lambda_{\text{obs}}\) Espace en expansion

La lumière émise avec une longueur d'onde \(\lambda_{\text{repos}}\) est "étirée" par l'expansion de l'espace et arrive à l'observateur avec une longueur d'onde plus grande \(\lambda_{\text{obs}}\).


Questions à traiter

  1. Calculer le décalage vers le rouge (redshift) \(z\) du quasar.
  2. En utilisant la formule de l'effet Doppler non-relativiste (\(v = z \cdot c\)), calculer une première approximation de la vitesse d'éloignement du quasar.
  3. Pour un redshift aussi élevé, la formule non-relativiste est-elle appropriée ? Pourquoi ?
  4. Calculer la vitesse d'éloignement \(v\) en utilisant la formule de l'effet Doppler relativiste : \(v = c \cdot \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1}\).
  5. En utilisant la vitesse relativiste et la loi de Hubble (\(v = H_0 \cdot d\)), estimez la distance du quasar en Mégaparsecs (Mpc).

Correction : Calcul et Interprétation du Redshift

Question 1 : Calcul du Redshift (\(z\))

Principe :

Le redshift \(z\) est défini comme la variation relative de la longueur d'onde de la lumière. C'est un nombre sans dimension qui quantifie l'étirement de la lumière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[z = \frac{\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{repos}}}{\lambda_{\text{repos}}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} z &= \frac{486.4 \, \text{nm} - 121.6 \, \text{nm}}{121.6 \, \text{nm}} \\ &= \frac{364.8 \, \text{nm}}{121.6 \, \text{nm}} \\ &= 3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le redshift du quasar est \(z = 3\).

Question 2 : Vitesse d'Éloignement (Approximation Non-Relativiste)

Principe :

Pour des redshifts faibles (\(z \ll 1\)), on peut utiliser une relation linéaire simple pour estimer la vitesse d'éloignement. C'est la première approximation de l'effet Doppler.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{\text{approx}} = z \cdot c\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\text{approx}} &= 3 \times 300,000 \, \text{km/s} \\ &= 900,000 \, \text{km/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse approximative est de 900,000 km/s.

Question 3 : Validité de l'Approximation

Principe :

La physique nous enseigne, via la théorie de la relativité restreinte d'Einstein, qu'aucun objet ayant une masse ne peut atteindre ou dépasser la vitesse de la lumière. Nous devons comparer notre résultat à cette limite.

Analyse :

Le calcul précédent donne une vitesse de 900,000 km/s, ce qui est trois fois la vitesse de la lumière (\(3 \times c\)). Ce résultat est physiquement impossible.

Conclusion : L'approximation non-relativiste n'est absolument pas appropriée pour des redshifts élevés comme \(z=3\). Elle n'est valide que pour des vitesses très faibles par rapport à celle de la lumière (typiquement pour \(z < 0.1\)). Pour des objets aussi rapides et lointains, il est impératif d'utiliser la formule relativiste.

Question 4 : Vitesse d'Éloignement (Calcul Relativiste)

Principe :

La formule relativiste correcte prend en compte les effets de la relativité restreinte et garantit que la vitesse calculée ne dépassera jamais \(c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v = c \cdot \frac{(z+1)^2 - 1}{(z+1)^2 + 1}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= c \cdot \frac{(3+1)^2 - 1}{(3+1)^2 + 1} \\ &= c \cdot \frac{4^2 - 1}{4^2 + 1} \\ &= c \cdot \frac{16 - 1}{16 + 1} \\ &= c \cdot \frac{15}{17} \\ &\approx 0.882 \cdot c \\ &\approx 0.882 \times 300,000 \, \text{km/s} \\ &\approx 264,706 \, \text{km/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse relativiste correcte du quasar est d'environ 264,706 km/s (soit 88.2% de la vitesse de la lumière).

Question 5 : Estimation de la Distance du Quasar

Principe :

Une fois la vitesse d'éloignement connue, on peut utiliser la loi de Hubble-Lemaître pour estimer la distance de l'objet.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v = H_0 \cdot d \Rightarrow d = \frac{v}{H_0}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= \frac{264,706 \, \text{km/s}}{70 \, \text{km/s/Mpc}} \\ &\approx 3781.5 \, \text{Mpc} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le quasar se situe à une distance d'environ 3,782 Mégaparsecs.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Un objet avec un redshift négatif (blueshift) :

2. Le redshift cosmologique est principalement causé par :

3. Pourquoi la formule \(v=z \cdot c\) est-elle incorrecte pour de grandes valeurs de \(z\) ?


Glossaire

Décalage vers le rouge (Redshift, \(z\))
Mesure sans dimension de l'augmentation de la longueur d'onde de la lumière due à l'éloignement d'une source. Il est défini par \(z = (\lambda_{\text{obs}} - \lambda_{\text{repos}}) / \lambda_{\text{repos}}\).
Redshift Cosmologique
Le type de redshift causé par l'expansion de l'Univers. L'espace lui-même s'étire, augmentant la longueur d'onde de la lumière qui le traverse. C'est le principal type de redshift pour les objets extragalactiques.
Effet Doppler
Changement de fréquence (et donc de longueur d'onde) d'une onde pour un observateur en mouvement par rapport à la source de l'onde. Le redshift cosmologique est une manifestation analogue à grande échelle.
Raie Spectrale
Ligne sombre (absorption) ou brillante (émission) dans un spectre électromagnétique, apparaissant à une longueur d'onde spécifique. Les atomes n'émettent ou n'absorbent de la lumière qu'à des énergies (et donc des longueurs d'onde) bien précises, créant une "empreinte digitale" unique pour chaque élément chimique.
Quasar
Noyau de galaxie extrêmement lumineux et lointain, alimenté par un trou noir supermassif. Leur immense luminosité permet de les observer à de très grandes distances, ce qui en fait des sondes précieuses de l'Univers primordial.
Le décalage vers le rouge - Exercice d'Application en Cosmologie

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